应用微积分(上册) 教学课件 作者 刘春凤《应用微积分》第9章9.2.ppt

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1、常微分方程第9章主讲教师：第9章常微分方程概念反思理论回味经典探究方法纵横前景展望9.2一阶微分方程可分离变量型方程12一阶线性微分方程3伯努利方程4齐次微分方程一阶微分方程的一般形式为本节仅讨论几种特殊类型的一阶微分方程的求解问题。另一形式一阶微分方程的初值问题可表示为转化解分离变量方程形如的方程称为可分离变量方程。求解思路：9.2.1可分离变量型方程分离变量方程的解法:设y＝(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②则有称②为方程①的通解,或通积分.将原方程分离变量，得两端积分，得原方程的通解为【

2、注】1)方程的解可以是以隐式形式给出。2)积分后要加常数C，可写成特殊形式，如lnC等。例9.5解原方程变形为两端积分得通解为原方程的特解为代入初始条件得例9.6解一曲线经过点它在两坐标轴之间的任一切线段均被切点所平分，求此曲线的方程。轴的设切线与设所求曲线的方程为则曲线上点处的切线方程为交点为A，轴的与交点为B，则A的坐标为，B的坐标为因为是线段的中点，所以，分离变量得两端积分得所以通解为解例9.7将初始条件代入，得所以曲线方程为形如的方程叫做齐次方程.但是,如何求解齐次方程呢？9.2.2齐次微分方程令代

3、入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:解微分方程则有分离变量积分得代回原变量得通解显然y=0,也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.解例9.8注意原方程化为即积分，得回代得方程的通解求微分方程的通解令解例9.9一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为一阶非齐次线性微分方程.称为一阶齐次线性微分方程;1.齐次方程的通解分离变量两边积分得故通解为9.2.3一阶线性微分方程2.非齐次方程非齐次方程和齐次方程有着密切的对应关系，通过常数变易法

4、来揭示这种联系。第二步，常数变易法的步骤：第一步，先求齐次方程的通解将中的C改为表示非齐次方程的解的通解对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得结论：非齐次通解等于齐次通解加上非齐次特解。（常数变易法）表示非齐次通解，表示齐次通解，表示非齐次特解。求微分方程的通解先求齐次方程通解为令解例9.10通解为：（公式法）解得原方程变形为由公式法解直接利用公式得原方程的通解：通解为求微分方程的通解代入初始条件得解例9.11伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除

5、方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.方法:(线性方程)9.2.4伯努利方程则通解为。解例9.12故原方程的解为代入原方程得令则求微分方程的通解。解例9.13可分离变量型方程的解法；齐次微分方程的解法；一阶线性微分方程的解法；伯努利方程的解法；齐次和非齐次线性微分方程内容小结1．求下列微分方程的通解（1）（2）（3）（4）习题9.22．求下列微分方程所给初始条件的特解（1）（2）（3）（4）3．求下列齐次方程的通解（1）（2）（3）（4）4．求下列齐次方程满足所给初始条件的特解：（1）（2）5．求下列

6、线性微分方程的通解（1）（2）（3）（4）6．求下列微分方程满足初始条件的通解：（1）（2）（3）7．求一曲线方程，这条曲线经过原点，并且它在点处的切线斜率等于8．求下列贝努利方程的通解：（1）（2）