《猜想、证明与拓广》微课用.ppt

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1、综合与实践猜想,证明与拓广平陆县西街初中柴晓娟⑴.你准备怎么去做?⑵.你是怎么做的?⑶.你有哪些解决方法?⑷.你能提出哪些新的问题?探究活动：矩形的“倍增”问题出示问题：任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍?探究活动：矩形的“倍增”问题思考:矩形的形状太多了,我们可以先研究一个具体的矩形,比如长和宽分别为2和1?所求矩形的周长和面积应分别为12和4.412(1)从周长是12出发,看面积是否是4;如果设所求矩形的长为x,那么它宽为6-x,其面积为x(6-x).根据题意,得x(6-x

2、)=4.即x2-6x+4=0.如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在.解这个方程得:【猜想环节】(2)从面积是4出发,看周长是否是12.解:如果设所求矩形的长为x,那么宽为4/x,其周长为（x+4/x）×2.根据题意,得（x+4/x）×2=12x+4/x=6.即x2-6x+4=0.显然这个方程有解,由此说明这样的矩形存在.解这个方程得:(3)设其长和宽分别为x和y,则得方程组为由x+y=6得y=6-x代入xy=4中得x(6-x)=4.即x2-6x+4=0.如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在.解这个方程得:y=-x+6

3、y=4/x(4)由方程组得函数y=-x+6y=4/x结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.如果已知矩形的长和宽分别为3和1，4和1,5和1呢？结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流.活动说明：1、以四人小组为单位进行探究活动。2、每小组选一种情况进行说明。3、整理写出解答过程。做一做：131415猜想：存在这样的矩形，它的周长与面积分别是已知矩形的2倍。【证明环节1】分析:如果矩形的长和宽分别为n和1,那么其周长和面积分别为2(1+n)和n,所求矩形的周长和面积

4、应分别为4(1+n)和2n.从周长是4(1+n)出发,看面积是否是2n;解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(1+n)-x,其面积为x[2(1+n)-x].根据题意,得x[2(1+n)-x]=2n.即x2-2(1+n)x+2n=0.解这个方程得:若从面积是2n出发,可得同样的结论.⑴如果已知矩形的长和宽分别为n和1呢？结论会怎样呢?【证明环节2】分析:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和2mn.从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn;

5、解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(m+n)-x,其面积为x[2(m+n)-x].根据题意,得x[2(m+n)-x]=2mn.即x2-2(m+n)x+2mn=0.解这个方程得:若从面积是2mn出发,可得同样的结论.⑵如果已知矩形的长和宽分别为m和n呢？结论会怎样呢?结论：存在这样的矩形，它的周长与面积分别是已知矩形的2倍。总结反思，方法提炼（2）本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的数学思想，体会证明的必要性.（1）本节课的问题解决综合运用了所学知识,体会知识之间的内在联系.总结反思，

6、方法提炼（3）一个几何存在性问题，可以转化为方程是否有解的问题，两种列方程的思路源于优先“固定”所求矩形的周长或优先“固定”所求矩形的面积，同时也能感受到对同一个问题存在不同的解决方法，有助于开阔学生的思维.任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?【拓广作业】课后作业：课后以小组为单位探究解决，可类比本节课的探究方法，下一课时小组进行展示交流。