2019-2020学年河南省平顶山市高一（上）期末数学试卷.docx

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2019-2020学年河南省平顶山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，1，2，3，4，5，，或，则　　A．，2，3，B．，1，2，3，C．，2，D．2．（5分）已知直线平面，直线平面，则下列结论一定不正确的是　　A．，相交B．，异面C．D．3．（5分）已知函数则　　A．3B．C．D．4．（5分）已知，，直线．若点到直线的距离等于点到直线的距离，则　　A．或6B．C．D．或5．（5分）函数的定义域是　　A．B．C．D．6．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　A．B．C．D．7．（5分）已知且，则函数与的大致图象是　　A．B．第15页（共15页） C．D．8．（5分）如果圆上所有点到原点的距离都不小于3，则实数的取值范围为　　A．B．C．D．9．（5分）若函数在上为增函数，则实数的取值范围为　　A．B．，C．，D．，10．（5分）有一个棱长为，悬空放置的正方体框架，将一个圆气球放在框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与框架12条棱均相切时，如果不计气球的厚度，则气球内气体的体积为　　A．B．C．D．11．（5分）知函数是上的减函数，，则　　A．B．C．D．12．（5分）已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则　　A．1B．2C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数且的图象恒过定点的坐标为　　．第15页（共15页） 14．（5分）扇形的圆心角为，半径，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为　　．15．（5分）《九章算术》卷第五商功中记载有几何体“方亭”，一“方亭”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰梯形．则其侧棱与底面所成的角为　　．16．（5分）已知圆的圆心在轴上，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为　　．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）．18．（12分）已知三点，，．（Ⅰ）求线段的中垂线方程；（Ⅱ）求线段的中点到直线的距离．19．（12分）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．20．（12分）为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与大棚投入分别满足，．设甲大棚的投入为，每年两个大棚的总收入为（a）．（投入与收入的单位均为万元）（Ⅰ）求（8）的值．第15页（共15页） （Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收人（a）最大？并求最大年总收入．21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，．（Ⅰ）设，分别为，的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．22．（12分）已知函数其中．（Ⅰ）当时，求函数的零点个数；（Ⅱ）当函数的零点恰有3个时，求实数的取值范围．第15页（共15页） 2019-2020学年河南省平顶山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，1，2，3，4，5，，或，则　　A．，2，3，B．，1，2，3，C．，2，D．【解答】解：集合，1，2，3，4，5，，或，所以，所以，1，2，3，．故选：．2．（5分）已知直线平面，直线平面，则下列结论一定不正确的是　　A．，相交B．，异面C．D．【解答】解：由平面的垂线的定义可知，在平面内肯定不存在与直线平行的直线．故选：．3．（5分）已知函数则　　A．3B．C．D．【解答】解：；．故选：．4．（5分）已知，，直线．若点到直线的距离等于点到直线的距离，则　　第15页（共15页） A．或6B．C．D．或【解答】解：由题可知，解得或．故选：．5．（5分）函数的定义域是　　A．B．C．D．【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得．函数的定义域是，．故选：．6．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　A．B．C．D．【解答】解：由题意，根据对数函数的单调性可得：，，，则．故选：．7．（5分）已知且，则函数与的大致图象是　　A．B．第15页（共15页） C．D．【解答】解：由于且，所以．当时，函数单调递增，函数数与函数数的图象关于轴对称，当时，函数调递减，函数与函数的图象关于轴对称，结合选项可知选．故选：．8．（5分）如果圆上所有点到原点的距离都不小于3，则实数的取值范围为　　A．B．C．D．【解答】解：圆上的圆心为，半径．设圆心到原点的距离为，则．设圆上任一点为，可知，由题意可知，解得或（舍去），故实数的取值范围是．故选：．9．（5分）若函数在上为增函数，则实数的取值范围为　　A．B．，C．，D．，【解答】解：由函数在上为增函数，第15页（共15页） 所以，化简得，解得；所以实数的取值范围是，．故选：．10．（5分）有一个棱长为，悬空放置的正方体框架，将一个圆气球放在框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与框架12条棱均相切时，如果不计气球的厚度，则气球内气体的体积为　　A．B．C．D．【解答】解：设球心为，正方体上底面中心为，上底面一边的中点为，在中，，，则，即气球的半径，．故选：．11．（5分）知函数是上的减函数，，则　　A．B．C．D．【解答】解：根据题意，，而是上的减函数，当时，，则有，则，此时，当时，，则有，则，此时，当时，，则有，则，此时，第15页（共15页） 综合有：；故选：．12．（5分）已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则　　A．1B．2C．D．【解答】解：根据题意，对任意的都有，则有，即函数是周期为3的周期函数，则（1），，又由函数是定义在上的奇函数，则，又由当时，，则，则（1），故（1）；故选：．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数且的图象恒过定点的坐标为　　．【解答】解：令，解得，，函数的图象恒过定点的坐标为，故答案为：．14．（5分）扇形的圆心角为，半径，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为　　．【解答】解：由已知可得，以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周，所得几何体是一个半球，且半球的半径为，所以半球的表面积为：．第15页（共15页） 故答案为：．15．（5分）《九章算术》卷第五商功中记载有几何体“方亭”，一“方亭”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰梯形．则其侧棱与底面所成的角为　　．【解答】解：还原几何体如下图所示：易知，为所求线面角，且，在△中，，则．故答案为：．16．（5分）已知圆的圆心在轴上，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为　　．【解答】解：设圆的圆心坐标为．直线直线与圆相切于点，显然点在该直线上，即第15页（共15页） ，解得．又圆心和切点的连线与直线垂直，所以，解得．根据两点间的距离公式，可得圆的半径．故圆的标准方程为．故答案是：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解答】解：（Ⅰ）原式．（Ⅱ）原式．18．（12分）已知三点，，．（Ⅰ）求线段的中垂线方程；（Ⅱ）求线段的中点到直线的距离．【解答】解：（Ⅰ）由题意得直线的斜率为，所以线段的中垂线斜率为；又线段的中点坐标为，所以线段的中垂线方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得直线的方程为，即；第15页（共15页） 线段的中点为，，所以线段的中点到直线的距离为．19．（12分）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，，且为偶数．（3分）又，解得，．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．当，时，由得．（8分）易知函数在，上单调递减，（10分）．实数的取值范围是．（12分）20．（12分）为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与大棚投入分别满足，．设甲大棚的投入为，每年两个大棚的总收入为（a）．（投入与收入的单位均为万元）（Ⅰ）求（8）的值．（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收人（a）最大？并求最大年总收入．第15页（共15页） 【解答】解：（Ⅰ）由题意知，所以（8）（万元）；（Ⅱ）依题意得，解得：，故（a），令，则，，显然在上单调递增，所以当，即时，（a）取得最大值，（a），所以当甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，年总收入最大，且最大年总收入为44.5万元．21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，．（Ⅰ）设，分别为，的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结，由题意得，，又由，得，平面，平面，平面．（Ⅱ）取棱中点，连结，依题意得，又平面平面，平面平面，平面，第15页（共15页） 又平面，，又，，平面．解：（Ⅲ）连结，由（Ⅱ）中平面，知是直线与平面所成角，是等边三角形，，且为中点，，又，在中，．直线与平面所成角的正弦值为．22．（12分）已知函数其中．（Ⅰ）当时，求函数的零点个数；（Ⅱ）当函数的零点恰有3个时，求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，令，得，则或，解，得或，解，得或，所以当时，函数的零点为，，10，共3个．（Ⅱ）令，得或，第15页（共15页） 由题易知恒成立，所以必须有3个实根，即和共有3个根，①解，得或（舍，故有1个根；②解，得或，要使得两根都满足题意，则有，又，所以．所以实数的取值范围为．第15页（共15页）