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《高二数学北师大版必修5学案：331基本不等式含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、不等式基本不等式3.1基本不等式【明目标、知重点】1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小3能初步运用基本不等式证明简单的不等式.填要点•记疑点1.重要不等式如果d,bGR,那么/+/产仝2〃(当且仅当a=b时取“=”).2.基本不等式(1)如果g,b都是非负数，那么亦，当且仅当a=b时，等号成立.(2)我们称岁N価为基本不等式，其屮字称为/b的算术平均数，应称为a,b的儿何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个非负数的算术平均数丕尘土它们的几何平均数.3.基本不等式的常用推论
2、(l)abW传今§驾％,皆旳：(2舟+詩2(°，b同号)；(3)当ab>Q时，号+》三2；当ab<()时，彳+号W-2；(4)6(2+b2+c^^ab+bc+ca(a,b,cWR).探要点•究所然探究点一基木不等式的证明思考1如何证明一y丄鼻兀y，“=”成立的条件是什么？2
3、2答对于任意实数兀，y,（X—0总是成立的，即兀2—2xy+）,，2$0,所以“2〉■三小'当且仅当无=丿时，"=”成立.思考2在思考1中，如果天=远,yM，则由这个不等式可得出怎样的结论？如何用语言表述？分别代替cr+b2^2ab中的a,
4、b会得到怎样的不等式？答得到，语言表述为：如果a,都是非负数，那么冷'鼻认石，当且仅当^=b时，等号成立.思考3不等式圧+心心与畅磐辛成立的条件相同吗？如果不同各是什么？不同，a2+b2^2ab成立的条件是a.bWR；価W今成立的条件是a,b均为正实数.小结如果°,方都是非负数，那么些個，当且仅当a=b时，等号成立.我们称这些不等式为基本不等式.探究点二基本不等式字$個的几何解释问题如下图，A3是圆0的直径，点Q是AB±任一点,AQ=a,BQ=b,过点Q作PQ垂直AB于Q,连接AP,PB.你能利用这个图形得出基
5、本不等式字三個的几何解释吗？思考1如何用a,b表示PQ、0P的长度？答由射影定理可知PQ=y[ab.WiOP=*AB=%Z思考2通过线段OP与PQ的大小关系，你能得出怎样的不等式？答半径0P=¥显然，它大于或等于PQ,即岁亦，其中当且仅当点Q与圆心0重合，即a=b时，等号成立.小结基本不等式字$7亦的几何意义是“半径不小于半弦”.在数学中，我们称字为a,方的算术平均数，称個为a,b的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.探究点三基本不等式的应用~+tab1+1证明因d,
6、b均为正数,由基本不等式，可知勺一2命，也即倾事占，当且仅当0=a+b“时,等号成立.反思与感悟在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.跟踪训练1已知a,b,c为不全相等的正数，求证：a+b+c>価+倔+畅.证明V«>0,b>0,c>0,.a+b^2[ab>0,b+c^2y[bc>09c+a^2[cci>0.即a+b+c^y[ab+y[bc+y[ca.由于a,b,c为不全相等的正实数，故等号不成立..*.«+/?+c>[ab+
7、y[bc+y[ca.例2已知兀、y都是正数.求证：(l)¥+f$2；(2)(x+y)(x2+/)(?+/)28x-y.证明(l)Vx,y都是正数，・・・；>0,>0,2刁+-X-y即22>一+X-y当且仅当时，等号成立.(2)Vx,丿都是正数，•―+歹22/^>0,,+)?$2石卡>0,x3+y3^2-/Pp>0.・•・(x+y)(,+/)(x3+y3)22屈.2^7^・2^/7?=Sx^3.即(x+yXx2+于)(兀彳+>,3)事8aV.当且仅当x=y时，等号成立.反思与感悟在(1)的证明中把;中分别看作
8、基本不等式中的d,b从而能够应用基本不等式;在(2)中三次利用了基本不等式，由于每次应用不等式等号成立的条件相同，所以最终能取到等号.跟踪训练2已知d、b、g都是正实数,求证：(a+b)(b+c(c+a)^Sabc.证明・・・a,b,c都是正实数，.a+b^2[ab>Otb+c22[^>0,c+a^2[ca>0.(a+b)(b+c)(c+q)22y[ab-2y[bc-2y[cct=Sabc.即(a+b)(b+c)(c+a)2Sabc.例3己知a,b,c都是正实数，且a+b+c=l,求证：丄+扌+丄29
9、.C/tI?C证明Ta+b+c=l,1,1,1a+b+c,a~~b+cla~~b+c•••一+7+一=+:1abcabc=3+-+~+t+t+~+~ciabbcc=3+(许劭+3£+6+£)23+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=*时，取等号.反思与感悟使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若岀现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式
