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《高二数学北师大版必修5学案：112数列的函数特性含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.2数列的函数特性【明目标、知重点】1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.常握数列的函数特性，会判断一个数列是递增数列还是递减数列.填要点•记疑点1.数列与函数的关系我们知道数列可以看作是一个定义域为N+（或它的有限子集）的函数，当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值,数列的通项公式an=fin）是数列的第项“与自变量nZ间的函数解析式,数列的图像是横坐标为止整数的一系列离散的点.2.数列的单调性名称定义判断方法递增数列从第2项起，每一项都大于它前面的一项递减数列从第2项起，每一项都小于它前
2、面的一项。刃+151常数列各项都相等Q”+1—如3.数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图像法、列表法.探要点•究所然［情境导学］数列作为一种特殊的函数，具有函数的本质属性，我们称之为数列的函数特性.事实上，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征，因此我们在研究数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地学好数列问题.探究点一数列与函数的关系思考1数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，
3、还可以怎样表示？答数列也可以用图像、列表等方法来表示.思考2以数列：1,3,5,7,9,…为例，你能用儿种方法表示这个数列？答⑴通项公式法：an=2n—.（2）列表法:n12345•••13579•••(3)图像法:思考3与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识.答数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在以下三个方面：①数列的定义域是正整数集N一或它的有限子集｛1,2,3,…，/?｝；②数列中的项是对应序号1,2,3,…的一列函数值；③数列的图像是一些孤立的点，这些点的横坐标从小到大依次是1,2,3,・・・・
4、探究点二数列的单调性思考1数列既然是特殊的函数，类比函数的单调性，如何定义数列的单调性呢？答(1)一个数列｛给｝，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即如+、＞5,那么这个数列叫作递增数列.如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即afl+i＜atlf那么这个数列叫作递减数列.(2)如果数列｛外｝的各项都相等，那么这个数列叫作常数列.思考2类比函数单调性的证明方法，如何判定数列的单调性？答判断一个数列的增减性，常常用作差的方法，通过判断差的符号来确定.对n€N+,当如1一给＞0时，｛禺｝为递增数列；当□“+]—给＜
5、0时，｛如为递减数列；当an+=an时，[an]为常数列；当冷+】一©的符号不确定时，｛冷｝既不是递增的，也不是递减的，也不是常数列.思考3如何利用数列的单调性求数列的最大项和最小项？答数列中的最大项或最小项的探求可通过数列的增减性加以解决，若求最大项偽，则外应满足、若求最小项给，则给应满足”另外一种方法就是将数列看作一个特殊的两数，通过求两数的最值來解决数列的最值问题，但此时应注意/7WN+这一条件.例1判断下列无穷数列的增减性.(1)2,1,0,—1,…，3—/?,…；(2丄—3...n...(如3’4'几+1‘•解
6、⑴设an=3—n,那么an+=3—(n+1)=2—n,G”+】—d“=(2—77)—(3—/?)=—1,所以d“+】v禺，因此这个数列是递减数列.舁+17?+1那厶bn+i=(n+})+=^+29久+厂久=^T^_^TT=s+i)g+2)>°，所以仇+]>仇，因此这个数列是递增数列.反思与感悟判断数列的单调性，一般地，根据数列的通项公式比较给+1与冷的大小，比较禺+1与给的大小常用作差法，此外还可用作商法、函数法.跟踪训练1设数列｛©,｝的通项公式为给=/+如⑺WN+),若数列｛如｝是单调递增数列，求实数R的取值范围.
7、解因为数列｛為｝是单调递增数列，所以如】一禺>0(淀N+)恒成立.又an=n3•5#4;n■反思与感悟数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号"为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n,a“)描点画图，就可以得到数列的图像.因为它的定义域是正整数集N+(或它的有限子集｛1,2,3,…，川)，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的.跟踪训练2画出下列数列的图像，并判断数列的增减性.(1)2,4,6,8,10,…；(2加“=一2〃+5.解(1)数列2,4,6,8,10,…的图像如图⑴
8、所示.由图像知它是递增数列.+kn(nN+),所以(h+1)2+A:(m+1)—(/+如)>0恒成立，即2〃+l+Q0,所以k>—(2n+1)(/?^N))恒成立.当料=1时,-(2n+l)有最大值一3,所以k>-3即为所求范围.探究点三数列的图像及单调性的判断例2作出数列一*,轄…，(一少，…的图像，
