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《高二数学人教B版必修5学案：32均值不等式一含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.2均值不等式(―)［学习目标］1.理解均值不等式的内容及证明2能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式.尹预习导学丄挑战自我，点点落实［知识链接］下列说法中，正确的有・(1)/+圧+2ab=(a+b)2；(2)(a±b)2N0；(3)/+跆@+防；(4)(a+b)G(a—疔.答案(1)(2)解析当a,b同号时，有cr+b2^：(a-~b)2t所以(3)错误；当a,b异号时，有(a+b)2^：(a—b)2,所以(4)错误.［预习导引］1.重要不等式对于任意实数a,b,当且仅当a=b时,等号成立.2.均值定理如果a,bWR—,那
2、么冷当且仅当a=b时,等号成立.3.算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a，b,数宇叫做a,〃的算术平均值，数畅叫做a,b的几何平均值.故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的儿何平均值.4.均值定理的常用推论a+b2a2+b22(a,(2)当ab>0时，彳+》三2；当abvO时，吕+》W-2.O)a2+b2+c1^ab+bc+ca(a,b,cWR).尹课堂讲义全童点难点，个个击破要点一均值不等式的证明例1证明下列不等式，并指出号成立的条件:(1)/+沪$2“；(2)逅匕导(a>0,b>0).证明(1)・・•/+//—2"=@—府20,:・£+/M2ab
3、,当且仅当a=b时，取“=”•(1)・九+方一2価=(&)?+(远尸一2诵•筋=(辺一书)2^0./.a+b^2[ab./.y[ab^：^-^-y当且仅当a=b时，取“=”.规律方法cT+b2^2ab对a、b^R都成立，成立的条件是a,bWR、，两个不等式“=”号成立的条件都是a=b.跟踪演练1还有一种证明価W字(a>0,b>0)的方法叫做分析法，下而设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把过程中留的空填正确？要证：苓方>0)①只要证：a+b2②要证②，只要证a+b~$0③要证③，只要证(-)2>0④显然，④是成立的，当且仅当a=b时，④的等号成立.答案2y[ab2
4、y[ciby[ay[b要点二均值不等式的直接应用例2(1)已知a,b,c为任意的实数，求证cr+b2+^ab+bc+ca.(2)已知a,b,c为不全相等的正数，求证a+b+c>y^+y[bc+y[cci.证明+/?2+c2$2Z?c,c~+cT^2ca.2(6?2+/?2+(?)2(ab+bc~~ca),即6t2+Z?2+c2ab4-bc+ca.(2)Ta>(),b>(),c>0f•,.a+b^2y[ab>0tb+c》2y[^>0,c+a^2[ca>0./.2(a~~b+c)^2(y[ab+y[bc+y[cci),即a+b+c^y[ab+y[bc+y/ca.由于a,
5、6c•为不全相等的正实数，故等号不成立.a+b+c>y[^+y[bc+y[ca.规律方法在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.跟踪演练2已知尤，y都是正数.求证:(1斗+詩2；(2)(x+y)(x2+)，)住+/)三8?/.证明即了+亍2・当且仅当尸y时，等号成立・⑵Tx,y都是正数，.x+y^2[xy>09x2+y2^2/x2y2>0,xJ+>?32]xiyS>0.(x+y)(x2+y2)(x3+y3)^2[xy-2Jx~y2•=8x3y3.即(x+y)Cv2+/)(x3+/)8
6、?/,当且仅当兀=丿时，等号成立.要点三含条件的不等式的证明例3已知a,b,cWR,且a+b+c=l,求证：丄+g+丄39.abc证明a+b+c=1,1,1,1a+b+c,a+b+c,a+b+ca+b+7=a+—+—c—尺,b.c、a.c、a、=3+尹計尹尹尹23+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=鲁时，取等号.规律方法使用均值不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用均值不等式，要注意等号能否同时成立.跟踪演练3已知a,b,x,yWR,且/+沪=1,x2+y2=1,求证：ar+/?yWl.证明T/+兀
7、2$2ax,/?2+『三2by,cf+x2+/?2+），22ax+2hy,又Va2+Z?2=l,/+）?=],2ar+2byW2,czx+byW1.歹当堂检测J当堂训练，体验成功1•不等式/+122加屮等号成立的条件是（）A.加=1B.,”=±1C.加=—ID.m=O答案A2.若OvdVb,则下列不等式一定成立的是（）答案c解析V0a+h,a+b3.如果Osvbvl,P=log丄一，g=^(logi<7+log27?),M=*logl(a+b),那么P,Q,M的大小顺序是()A.P>Q>MB.Q>P>MC.Q>
