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《高二数学人教B必修5学案：32均值不等式一含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第三章不等式§3.2均值不等式(一)j【明冃标、知重点】1.理解均值定理的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式來比较两个实数的大小3能初步运用均值定理证明简单的不等式.填要点•记疑点1.重要不等式对于任意实数gb,a2+b2^2ab,当且仅当a=b时,等号成立.2.均值定理如果a,b^R,那么吕色仝殛，当且仅当a=b时,等号成立.3.算术平均值与几何平均值对任意两个正实数d,b,数字叫做a,b的算术平均值，数個叫做°,b的几何平均值.故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.4.均值定理的常用推论(1)“W伴今毕¥-(a,Z>eR)；(2舟+詩
2、2(d，b同号)；(3)当ab>0时，号+詩2；当dbvO时,号+詐-2；(4)/+b，+c仝/仍+bc+ca{a,b,c丘R).探要点［•究所然［情境导学］在学习等差数列和等比数列时，我们知道两个正数a,b的等差中项和等比中项分别为耳2個，那么这两个中项有什么大小关系呢？能不能相等？什么条件下相等？本节我们就来研究这个问题.探究点一重要不等式/+沪22血思考如何证明不等式cr+h2^2ab?答证明：・・・/+b2—2ab=(a—b)2$0,・・・/+於2血,当且仅当a=b时,取“=”•小结一般地，对于任意实数a、b,我们有a2+b2^2abt当且仅当a=b时，等号成立.
3、通常我们称a2+b2^2ab为重要不等式.探究点二基本不等式J亦W丝二思考1如果g>0,b>0,用辺，远分別代替a2+b2^2ab屮的a,b会得到怎样的不等式？答得到a+b^2y[ab.思考2如何证明不等式p亦W笞'(d>0,b>0)?答证明：•：61+匕一2[^=应1)2+(屯)2—2聶[.屯=(心—卫)2三0..a+b^2[ab.y[abW；"思考3对任意两个正实数a,方，数丁叫做a,b的算术平均值，数価叫做a,b的儿何平均值.那么均值定理如何用它们表述？答两个正数的算术平均值大于或等于它的儿何平均值.小结⑴如果a,bWRj那么字M個，当且仅当a=b时，等号成立
4、，称为均值不等式,也称它为基本不等式.(2)均值不等式用语言表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.思考4如果把個看作是正数a,b的等比屮项，字看作是正数a,b的等差屮项，该定理如何叙述？答两个正数的等比屮项不大于它们的等差中项.思考5不等式cr+b2^2ab与佈W爭成立的条件相同吗？如果不同各是什么？答不同，a1+b1^2ab成立的条件是a,b^R；寸亦成立的条件是a,b均为正实数.例1已知血>0,求证：许詩2,并推导出式中等号成立的条件.证明因为6//7>0,所以号>0,器>0,根据均值不等式，E旨'即泠2.当且仅当#时，即a2=b2时式中等号成立，因为
5、ab>0,即°,b同号，所以式中等号成立的条件是a=h.反思与感悟证明中把号，务分别看作均值不等式中的a,b从而能够应用均值不等式；在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.跟踪训练1已知a,b,c为不全相等的正数，求证：a+b+c>y[ab+y[bc+y[cii.证明Va>0,b>0,c>0,a+b^2[ab>0,b+c^2[bc>0tc+a^2y[cci>0./.2（a+b+c）N2（y[ab+y[bc+y[ca）,即a+b+c^y[ab+y[bc+y[ca.由于G,b,C为不全相等的正实
6、数，故等号不成立.••a+b+c>[ab+y[bc+y[cci.跟踪训练2已知a,b,c都是正实数，且a+b+c=,求证：证明*•*ci+b~~c=1,1,1,1a+b+c,a+b+c,a+b+c••咕+尹芦=3+色+帘+舒时aabbccR+陽）+駅）+（迸^3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=^时，取等号.探究点三均值不等式的应用例2已知函数y=x+垄，xe（-2,+-）,求此函数的最小值.解因为兀>—2,所以兀+2>（）,由均值不等式，得兀+雄F+2）+雄-2刃屮+2）卫-2=6,当且仅当兀+2=垄即兀=2时，取“.因此，当x=2时，函数有最小值6.反思与感
7、悟应用均值不等式求函数的最值应满足的条件：（1）两数均为正数；（2）必须出现定值（和为定值或积为定值）；（3）等号要取到（等号成立取得的值要在定狡域范围内）；（4）若多次应用吋，则每一个等号要同时取到.跟踪训练3已知函数尸卄£用（一I0）,求函数的最大值.解因为*0,所以£<0,则一兀>0,兀+£=—［（-兀）+（」町］（由均值不等式得）因此当兀=—1时，函数有最大值一2.当堂测•查疑缺1.已知G>0,方>0，贝^+^+2［ab的最小值是（）A.2B.2迈C.4D.5答案C2.若0
