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《2018版高中数学人教B版必修五学案：第三单元+§32 均值不等式（一）+Word版含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、■第三章不等式§3.2均值不等式(一)【学习目标】1.理解均值不等式的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式.ET问题导学知识点一算术平均值与几何平均值思考如图，力3是圆O的直径，点0是4B上任一点，AQ=a,BQ=b,过点0作尸0垂直于0,连接MP,如何用a,b表示PO,F0的长度？梳理一般地，对于正数g,b,平均值，J亦为a,b的平均值.两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即马'.其几何意义如上图中的知识点二均值不等式及其常见推论思考如何证明不等式J
2、亦W笞卫(a>0,b>0)?梳理個W耳2a>o,b>0).当对正数a,b赋予不同的值时，可得以下推论:a+b2一Q’+b?(1)〃W(-y)-W^—(a,〃WR)；(2)号+詩2(a,b同号)；(3)当">0时，彳+》三2;(4)«2+b2+c2^ab+be+ca(a,b,cWR)・题型探究类型一常见推论的证明例1证明不等式a2+b2^2ab(abWR).引申探究、口十心v.a+b2一/+/?2证明不寺式(一-—广W-(a,bWR).反思与感悟(1)本例证明的不等式成立的条件是a,bER,与均值不等式不同.(2)本例使用
3、的作差法与不等式性质是证明中常用的方法.跟踪训练1己知a,b,c为任意的实数,求证：a2+b2+c2^ab~~he+ca.类型二用均值不等式证明不等式例2已知x、y都是正数.求证：(1亡+?$2；(2)(兀+y)(J+y2)(x3+/)28xV.反思与感悟在(1)的证明中把£匹分别看作均值不等式中的Q,b从而能够应用均值不等式；兀y在(2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号.跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证：(a+b)(b+c)•(c+a)Sabe.类型三用均值不
4、等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为力，第二年的增长率为G,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为X,Cl,b,兀均大于零，贝
5、J()a+b一a+bA.x=——B.xW—a~~ba~~bC・x>——D・xM—3—反思与感悟均值不等式字亦一端为和，一端为积，使用均值不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.跟踪训练3设a>b>9P=y]览clgb，Q=ga^]gb,R=lg字，则P，Q,A的大小关系是()B.P0,b>0,贝
6、^~+^+2[ab的最小值是（）A.2B.2^2C.4D.52.若0~~>ab>bB.b>jab>~—aC.a+bI—b>~->]ab>aD.a+bb>a>~>[ab3.设°、b是实数，且a+b=3,则2a+2h的最小值是（）A.6B.4-/2C.2^6D・84.设a>0,b>0,给出下列不等式:③（a+〃）（*+£）三4；④/+9>6q.其中恒成立的是.（填序号）p-规律与方法•1.两个不等式a2+b2^2ab与今2倔都是带有等号的不等式，
7、对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面，当a=b时，一=y[ab;另一方面，当；时,也有a=b.2.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.答案精析问题导学知识点一易证那么PQC=AQYQB.即尸0
8、=価.梳理算术几何知识点二思考*•a~~b—2y[ab=(y[a)2+(y[b)2—2y[a•y[b=(y[a—y[b)220,当且仅当a=b时，等号成立，.•.a+b$2寸不,当且仅当a=b时，等号成立.题型探
9、究类型一例1证明•.*a2+b2~2ab=(a~b)2^0fa2+b2^2ab.引申探究证明由例1,得/+圧22肪，2(/+b2)M/+沪+2ab,两边同除以4,即得(兽2冬疋尹，当且仅当a=b时，取等号.跟踪训练1证明•:a2+b2^2ab；b2+c2^2bc；c2+a2^2cat:、2(/+护+c2)22(ab+比+ca),即a2+b2+c2^ab+bc--ca9当且仅当a=b=c时，等号成立.类型二例2证明(l)Vx,y都是正数，当且仅当x=p时，等号成立.(2)Vx,丿都是正数，x+y$2[xy>0,x2+y
10、2^2y/Py2>Ofx3+/^2VrV>0.(x+y)(x2+/)(x3+/)-2jx^yi=8x3,即(x+y)C「+^2)(x3+y3)M8x3,当且仅当x=y时，等号成立.跟踪训练2证明・・1,b,c都是正实数，・・・a+b$2侦>0,b+cM2伍>0,c+a^2[ca>0.(a+b)(b+c)(c+
