2018版高中数学人教b版必修五学案第三单元 §3.2　均值不等式（一）含答案

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1、www.ks5u.com学习目标　1.理解均值不等式的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一　算术平均值与几何平均值思考　如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？　梳理　一般地，对于正数a，b，为a，b的________平均值，为a，b的________平均值．两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即≤.其几何意义如上图中

2、的

3、PO

4、≥

5、PQ

6、.知识点二　均值不等式及其常见推论思考　如何证明不等式≤(a>0，b>0)?　　　-10-梳理　≤(a>0，b>0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab≤()2≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；(3)当ab>0时，＋≥2；(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．类型一　常见推论的证明例1　证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．引申探究证明不等式()2≤(a，b∈R)．　　反思与感悟　(1)本例证明的不等式成立的条件是a

7、，b∈R，与均值不等式不同．(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1　已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.　　类型二　用均值不等式证明不等式例2　已知x、y都是正数．求证：(1)＋≥2；　　-10-　(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.　　　　反思与感悟　在(1)的证明中把，分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在(2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．

8、跟踪训练2　已知a、b、c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.　　　　　类型三　用均值不等式比大小例3　某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则(　　)A．x＝B．x≤C．x＞D．x≥反思与感悟　均值不等式≥一端为和，一端为积，使用均值不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3　设a＞b＞1，P＝，Q＝，-10-R＝lg，则P，Q，R的大小关系是(　　)A．R＜P＜QB

9、．P＜Q＜RC．Q＜P＜RD．P＜R＜Q1．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　)A．2B．2C．4D．52．若0>>bB．b>>>aC．b>>>aD．b>a>>3．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)A．6B．4C．2D．84．设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.其中恒成立的是________．(填序号)1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不

10、等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面，当a＝b时，＝；另一方面，当＝时，也有a＝b.2.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．-10-答案精析问题导学知识点一思考　

11、PO

12、＝＝.易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么

13、PQ

14、2＝

15、AQ

16、·

17、QB

18、，即

19、PQ

20、＝.梳理　算术　几何知识点二思考　∵a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，∴a＋b≥2，∴≤

21、，当且仅当a＝b时，等号成立．题型探究类型一例1　证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.引申探究证明　由例1，得a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，两边同除以4，即得()2≤，当且仅当a＝b时，取等号．跟踪训练1　证明　∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．类型二例2　证明　(1)∵x，y都是正数，-

22、10-∴>0，>0，∴＋≥2＝2，即＋≥2，当且仅当x＝y时，等号成立．(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2>0，x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0.∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立．跟踪训练2　证明　∵a，b，c都是正实数，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc.即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅