3.2 均值不等式(一) 学案（人教b版必修5）

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1、§3.2　均值不等式(一)自主学习知识梳理1．如果a，b∈R，那么a2＋b2______2ab(当且仅当________时取“＝”号)．2．若a，b都为________数，那么________(当且仅当a________b时，等号成立)，称上述不等式为________不等式，其中________称为a，b的算术平均值，________称为a，b的几何平均值．3．均值不等式的常用推论(1)ab≤2≤(a，b∈R)；(2)当x>0时，x＋≥________；当x<0时，x＋≤________.(3)当ab>0时，＋≥________；当ab<0时，＋≤_____

2、___.(4)a2＋b2＋c2________ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．自主探究1.下面是均值不等式≤的一种几何解释，请你补充完整．如图所示，AB为⊙O的直径，AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交⊙O上半圆于D，连结AD，BD.由射影定理可知，CD＝__________，而OD＝__________，因为OD________CD，所以________，当且仅当C与O________，即________时，等号成立．2．当a>0，b>0时，≤≤≤这是一条重要的均值不等式链，请你给出证明．对点讲练知识点一　利用均值不等式比较大小例1　已知正数0<

3、a<1,0

4、　已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.求证：＋＋<＋＋.知识点三　利用均值不等式解含参数问题例3　a>b>c，n∈M且＋≥，求n的最大值．总结　解决恒成立问题时，常用分离参数的方法求出参数的取值范围．变式训练3　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)A．8B．6C．4D．21．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b)≤≤≤≤≤max(a，b)．当且仅当a＝b时，取到等号．2．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，

5、对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.课时作业一、选择题1．已知a>0，b>0，则，，，中最小的是(　　)A.B.C.D.2．已知m＝a＋(a>2)，n＝x2－2(x<0)，则m、n之间的大小关系是(　　)A．m>nB．m

6、b＝cd＝4，那么(　　)A．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一二、填空题6．若lgx＋lgy＝1，则＋的最小值为________．7．若a<1，则a＋有最______值，为________．8．设正数x，y满足＋≤a·恒成立，则a的最小值是______．三、解答题9．已知a、b、c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥.10．已知x>y>0，xy＝1，求证：≥2.§3.2　均值不等

7、式(一)知识梳理1．≥　a＝b2．正　≥　＝　均值　　3．(2)2　－2　(3)2　－2　(4)≥自主探究1.　　≥　≥　重合　a＝b2．证明　由于≤成立，只须证明≥和≥成立即可．∵－＝－＝＝＝≥0∴≥，即≤.∵2－2＝－＝＝＝≥0.∴≥，即≤.所以≤≤≤.对点讲练例1　D　[因为a、b∈(0,1)，a≠b，所以a＋b>2，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0

8、2，∴ab<，∴2ab<.∵>>0，∴>，∴a2＋b