高中数学 3.2 均值不等式（二）学案 新人教b版必修5

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1、§3.2　均值不等式(二)自主学习知识梳理1．设x，y为正实数(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当________时，积xy有最________值为________．(2)若xy＝p(积p为定值)，则当________时，和x＋y有最________值为________．2．利用均值不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：(1)x，y必须是________；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为______________；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为________．(3)等号成立的条件是否满足．利用均值不等式求最值时，一定要

2、注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．自主探究请探究函数y＝x＋(a>0)在x∈(0，＋∞)上的单调性．并利用该类函数的单调性求函数y＝sinx＋，x∈(0，π)的最小值．对点讲练知识点一　利用均值不等式求函数的最值例1　已知x≥，则f(x)＝有(　　)A．最大值B．最小值C．最大值1D．最小值1总结　本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件．变式训练1　已知x<，求函数f(x)＝4x－2＋的最大值．知识点二　利用均值不等式求代数式的最值例2　已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小

3、值．总结　利用均值不等式求代数式的最值时，经常要对代数式进行变形，配凑出均值不等式满足的条件，同时要注意考察等号成立的条件．变式训练2　已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3.求a＋b的最小值．知识点三　均值不等式的实际应用例3　如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？总结　涉及不等式的应用时，要首先建立函数关系式，适

4、时巧用均值不等式求其最值．变式训练3　甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？1．利用均值不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用均值不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用均值不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义.课时作业一、选择题1．函数y＝log2(x>1)的最小值为(　　)

5、A．－3B．3C．4D．－42．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为(　　)A．2B．4C．16D．不存在3．若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　)A．3B.C．4D.4．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有(　　)A．2∈M,0∈MB．2∉M,0∉MC．2∈M,0∉MD．2∉M,0∈M二、填空题5．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．6．函数y＝loga

6、(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．7．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为______．8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．三、解答题9．求下列函数的最小值．(1)设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值；(2)设x>－1，求y＝的最小值．10．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费

7、各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?§3.2　均值不等式(二)知识梳理1．(1)x＝y　大　　(2)x＝y　小　22．(1)正数　(2)定值　定值自主探究证明　当x∈(0，＋∞)时，设x10，即y1>y2；当x1、x2∈(，＋∞)时，y1－y2<0，即y1

8、x∈(0，π)的最小值．可令t＝sinx∈(0，1]，则y＝t＋在t∈(0,1]上是减函数．∴y≥5，当t＝1，即sinx