高中数学 3.2 均值不等式教案 新人教b版必修5

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1、3.2 均值不等式整体设计教学分析     均值不等式也称基本不等式.本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义,几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用.本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明,在思考与讨论过渡下,给出均值不等式的一个几何直观解释,以加深学生对均值不等式的理解.教材用作差配方法证明均值不等式.作差配方法是证明不等式的基本方法,在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法.在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件,并掌握基本技能.一般说来,“见和想积,拆低次,凑积为定值,则和有最小值;见积想和,拆高次,凑和为定值

2、,则积有最大值”.本节的《新课标》要求是:探索并了解均值不等式的证明过程;会用均值不等式解决简单的最大(小)问题.从历年的高考来看,均值不等式是重点考查的内容之一,它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新,大多是大小判断、求最值、求取值范围等.不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能,同时也是高中数学的一个难点,题型广泛,涉及面广,证法灵活,备受命题者的青睐,因而成为历届高考中的热点.几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影.书中练习A、B和习题都是基本题,要求全做.鉴于均值不等式的特殊作用,因此本节设计为2课时完成,但仅限于基本

3、方法和基本技能的掌握,不涉及高难度的技巧.第一课时重在均值不等式的探究,第二课时重在均值不等式的灵活运用.且在教学中,将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来,让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的联系.三维目标     1.通过本节探究,使学生学会推导并掌握均值不等式,理解这个均值不等式的几何意义,掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等.2.通过对均值不等式的不同形式应用的研究,渗透“转化”的数学思想,提高学生运算能力和逻辑推理能力.引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事

4、求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.3.通过本节学习,使学生体会数学来源于生活,帮助学生养成良好的学习习惯,形成积极探索的态度,逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯.重点难点     教学重点:用数形结合的思想理解均值不等式,并从不同角度探索不等式≥的证明过程;用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题.教学难点:用均值不等式求最大值和最小值,均值不等式≥等号成立条件的运用,应用均值不等式解决实际问题.课时安排     2课时教学过程第1课时导入新课     思路1.(直接引入)像教材那样,直接给出均值定理,然后引导学生

5、利用上节课的基本性质来探究它的证明方法.因为有了上两节的不等式的探究学习,因此这样引入虽然直白却也是顺其自然.思路2.(情境导入)教师自制风车,让学生把教师自制的风车转起来,这是学生小时候玩过的得意玩具;手持风车把手,来了一个360°的旋转,不但风车转得漂亮,课堂气氛也活跃,学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐,情境引入达到高潮,此时教师再提出问题.推进新课     活动:教师引导学生阅读均值定理的内容,或直接用多媒体给出.点拨学生利用上两节课所学知识进行证明,这点学生会很容易做到,只需作差配方即可.接着让学生明确,这个结论就是均值不

6、等式,也叫基本不等式.其中,任意两个正实数a、b的叫做数a、b的算术平均值,数叫做a、b的几何平均值.均值定理可以表述为:两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.强调这个结论的重要性,在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用,是高考的一个热点.可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件,a、b必须是正数,等号成立当且仅当a=b,以加深学生对此结论的理解,为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础.利用不等式的性质对均值不等式两边平方,则很容易得到a2+b2≥2ab.这是一个很重要的结论.一般地,如果a、b∈R,

7、那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)也可让学生重新证明这个结论:∵a2+b2-2ab=(a-b)2,当a≠b时,有(a-b)2>0.当a=b时,有(a-b)2=0,所以(a-b)2≥0,即a2+b2≥2ab.这个不等式对任意实数a,b恒成立,是一个很重要的不等式,应用非常广泛.请同学们注意公式的结构形式,成立的条件是a、b为实数,等号成立的条件是当且仅当a=b时成立.“当且仅当”即指充要条件.下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究.如图1,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD

8、′,连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗?图1(本节课开展到这里,学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法,对均值不等式也已经很熟悉,这就具备了探究这个问题的知识与情感

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