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《2018版高中数学（人教b版）必修五学案第三章32均值不等式（一）含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3-2均值不等式(―)［学习目标］1.理解均值不等式的内容及证明2能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式.戸预习导学丄挑战自我，点点落实［知识链接］下列说法中，正确的有・(1)/+/+2ab=(a+b)2；(2)(d±b)?20；(3)/+/%+方)3(4)(a+bf^a-b)1.答案(1)(2)解析当a,b同号时，有a2+b2^(a+b)2f所以(3)错误;当°,/?异号时，有(a+h)2^(a—h)2,所以(4)错误.［预习导引］1.重要不等式对于任意实数a,b,a2+b2^2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
2、2.均值定理如果a,bWR—,那么吕空仝蚯，当且仅当a=b时,等号成立.3・算术平均值与几何平均值对任意两个正实数G，b,数罟叫做G,"的算术平均值，数畅叫做a,b的几何平均值.故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的儿何平均值.4.均值定理的常用推论a~~b2一a'+b?(1)X(—^~)2W(a，方WR)・(2)当ab>0时,号+号三2；当abvO时，£+彳W-2.(^a1+b1+c1^ab+be+ca(afb,cWR).h课堂讲义善重点难点，个个击破要点一均值不等式的证明例1证明下列不等式，并指出号成立的条件:(Y)a2+b2^2a
3、b；(2)込亦W*d>0,Z?>0).证明(1)•・•/+/,—2ab=(d—b)2N0,・・・/+血2也当且仅当a=b时，取“=”•(2)Va+b-2価=(辺F+©)2—2&.书=(辺—远尸三()./.a+b^2y[ab.y[ab,当且仅当a=b时，取“=”・规律方法a2+b2^2ab对a、都成立，~^~~^y[ab成立的条件是a,bWR*,两个不等式“=”号成立的条件都是a=b.跟踪演练1还有一种证明個W爭(d>0,b>0)的方法叫做分析法，下而设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把过程中留的空填正确？要证：^~Y-^y[ab(a>OtZ?>0)①
4、只要证：a+b$②要证②，只要证ci+b~20③要证③，只要证(-)2鼻0④显然，④是成立的，当且仅当a=h时，④的等号成立.答案2y[ab2y[aby[ci要点二均值不等式的直接应用例2(1)已知a,b,c为任意的实数，求证a2+/?2+c~>ab+be+ca.(2)已知a,b,c为不全相等的正数，求证a+Z?+c>7亦+J瓦•+姬.证明(1)Ta2+b2^2ab9b2+c2^2bc,c1+a2^2ca.2(/+护+c2)22(ab+be+cd),即c^+kr+e1^ab+bc+ca.(2)Vtz>0,/?>(),c>0,yfabX),b+c^2yfbeX
5、),c+a$2/Z^>().2(a+b+c)22(y[ab+y[bc+y[cci),即a+b+c^y[ab+y[bc+y[ca.由于a,伏c•为不全相等的正实数，故等号不成立.a+b+c>y[ab+y[bc+y[ca.规律方法在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.跟踪演练2已知x,y都是正数.求证：(1)*+；22；(2)(x+y)(x2+/)U3+/)>8?/.证明（I）：•兀，y都是正数,誉=2,即：+fN2.当且仅当尸y时，等号成立.⑵Tx,y都是正数，.x+y^2[
6、xy>0,x+>,22*/x2jj2>0,P+)卩22寸『)丿>().(x+y)(x2+>,2)(x3+h)$2y/xy'2Jx~y~•2-^Pp=8.r3y3.即(x+jO(x2+j2)(x3+/)8xV,当且仅当x=y时，等号成立.要点三含条件的不等式的证明例3已知a,b,cER，且a+b+c=1»求证：丄+++丄39.abc证明Vtz+Z?+c=1,1,11d+Z?+c,a+b+c,a+b+c方+乙+孑=3+^+£+?+f+Maabbcc23+2+2+2=9.当且仅当a=h=c=^时，取等号.规律方法使用均值不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同
7、时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用均值不等式，要注意等号能否同时成立.跟踪演练3已知a,b,x,yWR,且a2+/?2=l,x2+y2=l,求证：ax+by^.证明*.*cf+x2^lax,b2+y122by,a2+x2+Z?2+y2&2cix+2hy,又t：a2+b2=i,?+y2=l,2ax+2byW2,ax+byW1.歹当堂检测全当堂训练，体验成功1.不等式m2+1$2m屮等号成立的条件是（）A.m=B.tn=±C.rn=—1D.in=O答案A2.若0?
8、>ab>bB.h>f^h>-+h>nci~l~b
