3、,求函数y=4x(3—2x)的最大值；4(3)已知x>2,求x+~—^的最小值；I9⑷
4、已知x>0，)；>0,且二+二=1，求x+y的最小值.入y解(1)当兀>0时，兀+£三2、/兀£=4,当且仅当即x2=4,x=2时取等号.4•:函数y=x+;(兀>0)在x=2时取得最小值4.32x+(3—2x)9(1)V00,•*.y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]<2[————1=空3当且仅当2r=3—2兀，即兀=才时，等号成立.3339•.•[丘(0,2)-•:函数>?=4x(3—2x)(00,j>0,-+-=1,xy・・・卄)
5、'・=(¥+?心+)')=十+牛+1022寸*牛+10=6+10=16,y9x19当且仅当*=¥，又三+*=1，即X=4,)=12时，上式取等号.xyxy故当x=4,y=12时,(兀+刃丽=16・19方法二由-+-=1，得(X—l)(y—9)=9(定值).可知疋>1,y>9,・・・x+y=(x—l)+(y—9)+1022寸(兀一l)(y—9)+10=16,当且仅当兀一1=y—9=3,即兀=4,y=12时上式取等号，故当x=4,y=2时，(x+y)min=16.规律方法在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和
6、为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.12跟踪演练1(1)已知兀>0,求J(x)=—+3x的最小值；•/V4(2)已知x<3,^fix)=~—：+x的最大值；XS(3)设兀>0,y>0,且2x+Sy=xy,求兀+y的最小值.121~212解(1)・・>0,：.,f(x)=—+/—•3x=12,当且仅当3x=—,即兀=2时取等号.X1X入•；/U)的最小值为12.(2)Vx<3,•:x—3<0.44・/U)(兀―3)+34Z-4=-[口+(3-兀)]+3W-2寸口.(3r)+3=-l,4当且仅当^=3—x,即x=l时取等号.・/
7、U)的最大值为一1.(3)方法一由2x+8y—%}?=0,得y(兀一8)=2x,V.r>0,j>0,.*.x—8>0,y=丫二，•“+尸卄^^卄⑴"=(x—8)+^^+10N2寸(X—8)x^^+10=18.当且仅当x-8=-^,即x=12时，等号成立.・・・x+y的最小值是18.82方法二由2x+Sy—xy=0及.r>0,y>09#~+~=1..•・x+y=（x+y）（¥+i）=¥+丰+1022寸竽丰+10=18.当且仅当卑=¥，即x=2y=12时等号成立.兀y.*.x+y的最小值是18.要点二均值不等式在实际问题中的应用例2某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造
8、一栋至少10层，每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为Xx&lO）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.（1）写出楼房平均综合费用y关于建造层数兀的函数关系式；（2）该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=爲芯爲）(1)依题意得j=(560+48x)+2160X10000~~2000x~=560+48%+10800x(x^10,兀WN+).(2)Vx>0,A
