高二数学人教A必修5学案：34基本不等式一含解析

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1、第三章不等式§3.4基本不等式:Jaba+b~2~【明冃标、知重点】1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.填要点•记疑点1.重要不等式如果d,bER,那么/+；仝2次当且仅当a=b时取“=”).2.基本不等式y殛匕号“(1)基本不等式成立的条件：q〉0,Q0.(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.3.算术平均数与儿何平均数⑴设g>0,/7>0,则a,方的算术平均数为爭，几何平均数为倔；(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数丕尘土它们的儿何平均数.4.基本不等式的常用推论(l)abW代

2、今兰护-@,bWR)；(2舟+詩2S，b同号)；(3)当仍>0时,许詩2；当时,许詐二2；(4)a~+Zr+c~三ab+bc+ca(a,b,cGR)•探要点•究所然［情境导学］如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？探究点一重要不等式a2+b2^2ab的证明思考1对于“情境导学”屮的图形，我们把“风车”造型抽象成平而图形，如图所示，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形•设直角三角形的长为°、b,那么正方形的边长为多少？面积为多

3、少？4个直角三角形的面积和又是多少?DB答yjer+b2,cT-Vb^lab.思考2根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不等式？答cr+lr>2ab思考34个直角三角形的而积和与止方形的而积有相等的情况吗？何时相等？图形怎样变答当直角三角形变成等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH变成一个点，这时有/+b1=2ab.小结一般地，对于任意实数a、b,我们有/+上2血,当且仅当a=b时，等号成立.通常我们称cr+lr^2ab为重要不等式.思考4如何证明不等式a2+b2^2ab?证明*：a1+b2-2ab=(a-b)1^09・・・/+於2血,当且

4、仅当a=b时，取“=”•探究点二基本不等式颗W学的证明思考1如果a>0,b>0,用筋分别代替cr+^lab中的d,b会得到怎样的不等式?答得到a+h^2[ab思考2如何证明不等式彳亦W耳'(a>0,/?>0)?证明*.*a+b~2[ab=(y[a)2+(y[b)2—2y/ci-y[b=(y[ci~y[b)220.a+b^2y[cib.yfcib,当且仅当a=b时，取"=”.思考3还有-•种证明個W字(Q0,Q0)的方法叫做分析法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把过程屮留的空填正确？要证：虫b>0),①只要证：a+b^,②要证②，只要证a+b~>0,③要证③，

5、只要证(—)2^0.④显然，④是成立的，当且仅当a=b吋，④的等号成立.答2[ab2y[aby[ay[b小结从需要证明的结论出发，逐步分析使结论成立的条件，当这个条件成立时，结论也就成立，这种证明方法叫做分析法.分析法在以后的选修教材中将会进一步的学习.不等式個W等彳°>0,b>0)叫做基本不等式.思考4不等式/+沪220“与価W岁成立的条件相同吗？如果不同各是什么？答不同，a2+b2^2ab成立的条件是d,bWR；成立的条件是a,b均为正实数.探究点三基本不等式的简单应用例1己知a,b,c为任意的实数，求证：a2+b2+c1^ab+bc+ca.证明・・・/+沪22"；b2+

6、^2bc；c2+a1^2cai2(/+护+c2)M2(ab+Z?c+cd),即+b1+c2+bc+ca.反思与感悟在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.跟踪训练1已知a,b,c为不全相等的正数，求证：a+b+c>[ab+y[bc+y[ca.证明Vt/>0,/?>0,c>0,•a+b^2y[ab>0,b+c$2y]l^>0,c+a^2[cci>0./.2(a+b+c)N2(y[ab+y[bc+y[ca),即a+b+c^y[ab+y[bc+y[cci.由于a,b,c为不全相等的正实数，故等号不成立

7、..*.ci+b+c>[ab+y[bc+y[ca.例2已知x、y都是正数.求证:(1乃+詩2；(2)(卄加+/)(?+/)鼻8?/.证明(l)・・・x,y都是正数，・・彳>0,>0,当且仅当x=y时，等号成立.⑵Tx,)•，都是正数,.x+y^2ylxy>0,丘+舲2^/7?>0./.(兀+y)(兀$+)?)(卫+>,3)22[xy^2y/Fy2.2寸Fp=Sx3y3.即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)28%3/.当且仅当时，等号成立.反思与感悟在(1)的证明中把三，E分别看作基