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《高二数学人教A必修5学案：112余弦定理一含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.1.2余弦定理（一）【明目标、知重点】1.常握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法2会运用余弦定理解决两类基木的解三角形问题.填要点•记疑点1.余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即a2=b1+c1—2bccosA,沪=（?+/—2cgcosB，—2°bcosC2.余弦定理的推论/>2+c2—a2a2+b2—c2cosg2处；cos*2ca；cosC=2ah-探要点•究所然［情境导学］我们知道已知两边和一边的对角，或者已知两角和一角的对
2、边能用正弦定理解三角形，如果已知两边和夹角怎样解三角形求第三边和其他两角呢？或者已知三边怎么解三角形求三个角呢？这是余弦定理所能解决的问题，这一节我们就来学习余弦定理及其应用.探究点一利用向量法证明余弦定理问题如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.如何利用已知的两边和夹角来解三角形呢？思考1如何用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角来解三角形”？答已知BC=a,AC=b和角C,求解c,B,A.思考2我们可以先研究计算第三边长度的问题，
3、联系己经学过的知识和方法，我们又从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式？答由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量的数量积，或用解析儿何的两点间距离公式来研究这个问题.思考3如图，设CB=a,CA=bfAB=c,由AB=CB~CA^c=a~b,那么，如何用q,b和角C表示出边c呢?答
4、cf=cc=（a—〃）（a—〃）=aa+bb~2ab=a一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是一寺,则三角形的另一边长为（）+b~—2a\bcosC.所以c2=a2+b2—2abcosC.同理可以证明
5、：a2=b2+c2~2bccosA,b2=c2+a2—2cacosB.小结余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即a2=b2+c2—2bccosA,h2=c2--a2—2cacosB,c2=a2+h2—2ahcosC.思考4我们可以把三角形放在平面直角坐标系中來研究，写出各个顶点的坐标，你能否利用平面内两点间的距离公式來推导余弦定理？答如下图，以/为原点，边所在直线为x轴建立直角坐标系，则/(O,O),B(c,O),C(bcos/,:、BC2=b2
6、co^A—2bcco$A+c2+b2sin2A,即a2=b2+c2—2bccosA.同理可证：b2=c2+a2—2cacosB,c2=a2+b2—2abcosC.例1在中，己知b=60cm,c=34cm,力=41。，解三角形(角度精确到1。，边长精确到lcm).解根据余弦定理，^2=Z>2+c2-2/)ccos^=602+342-2X60X34Xcos410^1676.82,所以a~41（cm）.由正弦定理得,⑷J"呼6=05440.a4141因为c不是三角形中最大的边，所以C为锐角，利用计算器可得C~3
7、3。，・・・3=180。一S+C)~180。一(41。+33。)=106。.反思与感悟解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角,而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手.跟踪训练1在屮，已知a=2,b=2dC=15°,求4解由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=8-4^3,由正弦定理得shiA=^^=^因为b>a,所以B»,因为力为锐角，所以A=30°.探究点二余弦定理的应用思考1余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，从方程的角度看已知其中三个量
8、，可以求出第四个量，能否rti三边求出一角？答从余弦定理的三个关系式中，分离岀角的余弦，又可得到以下推论：coQ弋FcosB=十一圧2accosC=b2+a2~c22ba思考2根据余弦定理及其推论，你认为余弦定理及其推论的基本作用有哪些？答（1）已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；（2）已知三角形的三条边就可以求出其它角.例2在厶ABC中，已知134.6cm,方=87.8cm,c=161.7cm,解三角形（角度精确到1'）・..X+c?—/87&+161.7?—134.6?解°cosA=~2
9、bc-=~2X87.8X161.7_=0.5543,・・・/256。20‘/+°2一沪134.6?+"IT—87.炉8岀=—茲~2X134.6X161.720.8398,・・・3心32。53‘.・・・0=180。一（/+〃）~180。一（56。20'+32。53‘）=90°47/.反思与感悟已知三边求三角：余弦值是正值时，角是锐角；余弦值是负值时，角是钝角.跟踪训练2在中，sin/:sinB:sinC=2：4：5,判断三角形的
