人教a版必修5学案：112余弦定理(1)(含答案)

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1、1.1.2余弦定理(一)自主学习n知识梳理]■余弓玄定理三加形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的cosC=的余弦的积的.即/=,b2.余弦定理的推论cosA.；cos3.在厶ABC^h若cr+b2-c2=0,则0=若c2=a+b2~ab,则C=⑶若c2=a2+b2+y[2ab,则C=—o自主探究试用向录的数录积证明余弦定理•对点讲练知识点一已知三角形两边及夹角解三角形0例1】在ZUBC中，已知a=2,b=2逗,C=15°,求4总结解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余

2、弦定理入手.变式训练1在△MC屮，边a,b的长是方程H_5x+2=0的两个根，C=60°,求边c.知识点二已知三角形三边解三角形m21已知三角形的三边长为67=3,b=4,c=筋,求/XMC的最大内角.=总结已知三边求三和时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角.变式训练2在中，已知BC==,JC=8,力3=9,试求/C边上的中线长.知识点三利用余弦定理判断三角形形状0例3】在△力BC屮，a.b、c分别表示三个内角/、B、C的对边,如果(a+b2)sin(A~B)=(a-i2)sin(^+B),试判断该三角形的形状.变式训练3在△仙C中,sin

3、A:sinB:sinC=2：3：4,试判断三角形的形状.©课堂小结1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形.(2)已知三边求三角形的任意一-角.2.余弦定理与勾股定理余弦定理町以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余眩定理的特例.(1)如果一个三角形两边的平方和人于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.⑵如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.(3)如果一个三介形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的介是肓和.课时作业一、选择题1.在厶ABC中，a=7,b=4书,c=巫,则厶AB

4、C的最小角为(A3B6r兀D122.在厶ABC'I',己知q=2,则/)cosC+ccosB等于(A.1B.^2C.2D.43.在△/BC中，已知X=qc且c=2°,则cos〃等于(1A-4B44.在中，sin〒==(a、b、c分别为角/、B、C的对应边)，贝'JAJ5C的形状为()A.正三角形B.宜角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形5.在△/BC中，己知面积S=^(a2+b2-c2)f则角C的度数为()A.135°B.45°C.60°D.120°二、填空题6.三角形三边长分别为q,b,y]a2+ab+b2(a>0,b>0),则最大角为・7.在厶ABC

5、l^AB=2,AC=y/6,BC=+书,4D为边BC上的高，则4D的长是8.在中，BC=1,Z3斗，当ZiMC的而积等于筋时，tanC=.三、解答题9.在厶4BC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2~2y/3x+2=0的两根,2cos(/+B)=l.(1)求角C的度数;(2)求肋的长；(3)求△MC的面积.10.在△/BC中，已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,求三边的长.1.1.2余弦定理（一）知识梳理1.平方平方夹角两倍b2+c2—2bccavAc2+a2—2cacayBa120。解析易知：y/a'+ab+bba,yja2~i~a

6、b+b2>bf设最大角为0,则cos&="+"(a+ab+")+b2—2abcavCb2+cI，乂6>e(0°,180°),・・・0=12O。.—a"c2+a2—b2a2+b2—c22・r^巫石厂3・(1)90。⑵60。(3)135。自主探究证明如图所示，设CB=a,G4=b,4B=c,那么c=a—b,

7、c

8、2=c-c=(a—b)-(a—b)=a-a+bb—2ab=a2+fe2—2a&cosC.所以c2=a2+ft2—2a&cosC.同理可以证明：cT=b1+c1—2比cosA,b2=c2+a2—2cqcosB.对点讲练[I例1】解由余弦定理得+2abcos

9、C=8—4羽，所以c=y[6—yf2f由正弦定理得sin/="{=刁因为所以&>/,又V0°a,少方，・••角C最大.山余弦定理，得c2=a2+b2~2abcosC,即37=9+16—24cosC,/.cosC=-

10、,V0°

11、解由条件灿cosA-2MBAC~2X9X8一3'设屮