1.1.2 余弦定理(一) 学案（人教b版必修5）

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1、1.1.2余弦定理(一)自主学习知识梳理1．余弦定理三角形中任何一边的________等于其他两边的________的和减去这两边与它们的______的余弦的积的________．即a2＝___________________，b2＝__________________，c2＝________________.2．余弦定理的推论cosA＝________________；cosB＝________________；cosC＝________________.3．在△ABC中：(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝________；(2)若c2＝a2＋b2－ab

2、，则C＝________；(3)若c2＝a2＋b2＋2ab，则C＝________.自主探究试用向量的数量积证明余弦定理．对点讲练知识点一已知三角形两边及夹角解三角形例1在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A.总结解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．变式训练1在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.知识点二已知三角形三边解三角形例2已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．总结已知三

3、边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角．变式训练2在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．知识点三利用余弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．变式训练3在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作

4、是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.课时作业一、选择题1．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()ππA.B.36ππC.D.4122．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于()A．1B.2C．2D．43．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()13A.B.4

5、422C.D.43Ac－b4．在△ABC中，sin2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则△ABC的形22c状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形5．在△ABC中，已知面积S＝1(a2＋b2－c2)，则角C的度数为()4A．135°B．45°C．60°D．120°二、填空题6．三角形三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2(a>0，b>0)，则最大角为________．7．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．π8．在△ABC中，BC＝1，∠B＝，当△ABC的面积等于

6、3时，tanC＝________.3三、解答题9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．10．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边的长．1．1.2余弦定理(一)知识梳理1．平方平方夹角两倍b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a2c2＋a2－b2a2＋b2－c22.2bc2ca2ab3．(1)90°(2)60°(3)135°自主探究证明→→→如图所示，

7、设CB＝a，CA＝b，AB＝c，那么c＝a－b，

8、c

9、2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2abcosC.所以c2＝a2＋b2－2abcosC.同理可以证明：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB.对点讲练例1解由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－43，所以c＝6－2，asinC1由正弦定理得sinA＝＝，c2因为b>a，所以B>A，又∵0°

10、＋b)2－3ab＝52－3×2＝19.∴c＝19.例