高二数学人教A必修5练习：3.4 基本不等式（一） Word版含解析.docx

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1、经典小初高讲义§3.4　基本不等式：≤(一)课时目标1．理解基本不等式的内容及其证明；2．能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．2．若a，b都为正数，那么≥(当且仅当a＝b时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab≤2≤(a，b∈R)；(2)当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2.(3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2.(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．一、选择题1．已知a>0

2、，b>0，则，，，中最小的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D.答案　D解析　方法一　特殊值法．令a＝4，b＝2，则＝3，＝，＝，＝.∴最小．方法二　＝，由≤≤≤，可知最小．2．已知m＝a＋(a>2)，n＝x2－2(x<0)，则m、n之间的大小关系是(　　)A．m>nB．mn.3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)A．1≤ab≤B．ab<1<小初高优秀教案经典小初高讲义C．ab<<1D.

3、，∴ab<1，又∵>>0，∴>1，∴ab<1<.4．已知正数02，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0

4、<2，∴ab<，∴2ab<.∵>>0，∴>，∴a2＋b2>.∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．6．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为(　　)A．0B．－2C．－D．－3答案　B解析　x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a≥max.∵x＋≥2，∴－≤－2，∴a≥－2.二、填空题7．若a<1，则a＋有最______值，为________．答案　大　－1解析　∵a<1，∴a－1<0，∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.

5、8．若lgx＋lgy＝1，则＋的最小值为________．小初高优秀教案经典小初高讲义答案　2解析　∵lgx＋lgy＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，∴＋＝＋≥2(x＝2时取等号)．9．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．答案　3解析　∵x>0，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．10．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．答案　解析　∵x>0，∴>0，易知a>0.∴≥，∴≤x＋＋3.∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5(x＝1时取等号)，∴≤5.∴a≥.三、解答题11．设a、b、c都是正数，求证：＋＋≥a＋

6、b＋c.证明　∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数．∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，三式相加得2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.12．a>b>c，n∈N且＋≥，求n的最大值．解　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.∵＋≥，∴n≤＋.∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，∴n≤＋，∴n≤＋＋2.小初高优秀教案经典小初高讲义∵＋≥2＝2(2b＝a＋c时取等号)．∴n≤4.∴n的最大值是4.能力提升13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)A．8B．6C．4D．2答案　C解析　只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可，

7、又(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以()2＋2＋1≥9，即()2＋2－8≥0求得≥2或≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.14．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.求证：＋＋<＋＋.证明　∵＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，∴2≥2(＋＋)，即＋＋≥＋＋.∵a，b，c为不等正实数，∴＋＋<＋＋.1．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b)≤≤≤≤≤max(a，b)．当