浙江专用2020版高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明考点规范练35数学归纳法

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1、考点规范练35　数学归纳法基础巩固组1.用数学归纳法证明2n>2n+1,n的第一个取值应是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.1B.2C.3D.4答案C解析当n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;当n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;当n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.故n的第一个取值应是3.2.已知f(n)=1n+1n+1+1n+2+…+1n2,则(　　)A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=12+13B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=12+13C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f

2、(2)=12+13D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+14答案D解析总项数为n2-(n-1),f(2)=12+13+14.故选D.3.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1,n∈N*)”,在验证n=1时,左端计算所得的结果是(　　)A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3答案C解析当n=1时,左边=1+a+a2.故选C.4.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时命题成立,则可推得当n=k+1时该命题也成立.现已知当n=5时,该命题不成立,则可推得(　　)A.当n=6时,该命题不成立B.当n=6时,该命题成

3、立C.当n=4时,该命题不成立D.当n=4时,该命题成立答案C解析因为当n=k时命题成立可推出当n=k+1时成立,所以当n=5时命题不成立,则当n=4时命题也一定不成立.5.对于不等式n2+n

4、k到n=k+1的推理不正确答案D解析在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.6.在数列{an}中,已知a1=2,an+1=an3an+1(n∈N*),依次计算出a2,a3,a4的值分别为　　　　　;归纳可知an=　　　　　. 答案27,213,219　26n-5解析a1=2,a2=23×2+1=27,a3=273×27+1=213,a4=2133×213+1=219.由此,猜想an的分子为2,分母是以1为首项,6为公差的等差数列.故an=26n-5.用数学归纳法可证明.7.用数学归纳法证明:12+22+…+n2+…+22+12=n(2n2+1)3,第二步证明由“k到k+1”时

5、,左边应加　　　　　. 答案(k+1)2+k2解析当n=k时,左边=12+22+…+k2+…+22+12,当n=k+1时,左边=12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12.8.用数学归纳法证明“当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除”第一步应验证n=　　　　　时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成　　　　　. 答案2　x2k-y2k能被x+y整除解析因为n为正偶数,故第一个值n=2,第二步假设n取第k个正偶数成立,即n=2k,故应假设成x2k-y2k能被x+y整除.能力提升组9.用数学归纳法证明11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)=nn+1(n∈N*)时,从“n=

6、k”到“n=k+1”,等式左边需增添的项是(　　)A.1k(k+1)B.1k(k+1)+1(k+1)(k+2)C.1(k+1)(k+2)D.1k(k+2)答案C解析假设n=k时,11×2+12×3+…+1k(k+1)=kk+1成立,那么n=k+1时,11×2+12×3+…+1k(k+1)+1(k+1)(k+2)=kk+1+1(k+1)(k+2),所以从“k→k+1”需增添的项是1(k+1)(k+2).故选C.10.利用数学归纳法证明“12n+1+12n+2+…+13n>13(n≥2,且n∈N*)”的过程中,由假设“n=k时”成立,推导“n=k+1时”也成立时,该不等式左边的变化是(　　)A.

7、增加13k+3B.增加13k+1+13k+2+13k+3C.增加13k+3并减少12k+1+12k+2D.增加13k+1+13k+2+13k+3并减少12k+1+12k+2答案D解析n=k+1时,不等式为12k+3+12k+4+…+13k+3>13,增加13k+1+13k+2+13k+3并减少12k+1+12k+2.故选D.11.已知f(x)是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的k,若f(k)≥k2成立