2019_2020学年高中数学课时分层作业14椭圆及其标准方程（含解析）北师大版

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1、课时分层作业(十四)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)A．(5，0)，(－5，0)　　B．(12，0)，(－12，0)C．(0，12)，(0，－12)D．(13，0)，(－13，0)B　[∵a2＝169，b2＝25，∴c2＝169－25＝144，∴c＝12，又∵焦点在x轴上，∴焦点为(12，0)，(－12，0)．]2．对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件B　[mn＞0，若m＝n则m

2、x2＋ny2＝1不是椭圆．若方程mx2＋ny2＝1是椭圆则“mn＞0一定成立．”]3．过点(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1A　[椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且c2＝5.设所求的椭圆方程为＋＝1，将(3，－2)代入方程得＋＝1，解得a2＝15，故所求椭圆方程为＋＝1.]4．已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是(　　)A.＋＝1(x≠±2)B.＋＝1(y≠±2)C.＋＝1(x≠0)D.＋＝1(y≠0)B　[∵2c＝

3、AB

4、＝2，∴c

5、＝1，∴

6、CA

7、＋

8、CB

9、＝6－2＝4＝2a，∴顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．因此，顶点C的轨迹方程＋＝1(y≠±2)．]5．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且

10、PF1

11、∶

12、PF2

13、＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)A．5B．4C．3D.1B　[由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴

14、PF1

15、＋

16、PF2

17、＝2a＝6，又

18、PF1

19、∶

20、PF2

21、＝2∶1，∴

22、PF1

23、＝4，

24、PF2

25、＝2，由22＋42＝(2)2可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为

26、PF1

27、·

28、PF2

29、＝×4×2

30、＝4，故选B.]二、填空题6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．3或5　[当m＞4时，m－4＝1，∴m＝5.当0＜m＜4时，4－m＝1，∴m＝3.]7．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．(2，4)∪(4，6)　[若方程＋＝1表示椭圆．则，∴2＜k＜6且k≠4.]8．在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(－4，0)，且＝，则△ABC的顶点C的轨迹方程为________．＋＝1(y≠0)　[由正弦定理，得＝，又

31、AB

32、＝8，∴

33、BC

34、＋

35、AC

36、＝10.由椭圆定义可知，点C的轨迹是以点A，B为焦点的椭圆．又∵a

37、＝×10＝5，c＝×8＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.又∵点A，B，C不共线，∴点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．]三、解答题9．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．[解]　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，不妨取

38、PF1

39、＝，

40、PF2

41、＝，由椭圆的定义，知2a＝

42、PF1

43、＋

44、PF2

45、＝2.即a＝.由

46、PF1

47、>

48、PF2

49、知，PF2垂直于长轴．在Rt△PF2F1中，4c2＝

50、PF1

51、2－

52、PF2

53、2＝，∴c2＝，∴b2＝a2－c2＝.又所求的椭

54、圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.10．已知动圆M过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]　设动圆M和定圆B内切于点C，由

55、MA

56、＝

57、MC

58、得

59、MA

60、＋

61、MB

62、＝

63、MC

64、＋

65、MB

66、＝

67、BC

68、＝8，即动圆圆心M到两定点A(－3，0)，B(3，0)的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝6，b＝＝，∴M的轨迹方程是＋＝1.[能力提升练]1．设α∈，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围为

69、(　　)A.B.C.D.C　[由题意知，cosα>sinα>0，∴tanα<1，∵α∈，∴0<α<.故选C.]2．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形B　[根据椭圆的定义知

70、PF1

71、＋

72、PF2

73、＝8.又

74、PF1

75、－

76、PF2

77、＝2，所以

78、PF1

79、＝5，

80、PF2

81、＝3.而

82、F1F2

83、＝4，所以

84、F1F2

85、2＋

86、PF2

87、2＝

88、PF1

89、2，所以△PF1F2是直角三角形，故选B.]3．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，

90、点M的坐标为(6，4)，则

91、PM

92、＋

93、PF1

94、的最大值为________．15　[由椭圆定义知

95、PM

96、＋

97、PF1

98、＝

99、PM

100、＋2×5－

101、PF2

102、，而

103、PM

104、－

105、PF