2019_2020学年高中数学课时分层作业7抛物线及其标准方程（含解析）北师大版选修

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1、课时分层作业(七)　抛物线及其标准方程(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．如果抛物线y2＝ax的准线是直线x＝1，那么它的焦点坐标为(　　)A．(1,0)　　B．(2,0)C．(3,0)D．(－1,0)D　[由准线方程x＝1可得a＝－4，所以焦点坐标为(－1,0)．]2．到直线x＝2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是(　　)A．抛物线B．圆C．椭圆D．直线D　[法一：根据抛物线的定义判断，首先要看点P与直线的位置关系．点P(2,0)在直线x＝2上，故轨迹不是抛物线，而是经过点P(2,0)且垂直于直线x＝2的一条直线．法二：设动点M(x

2、，y)，则有＝

3、x－2

4、，所以y2＝0，即y＝0，表示的是x轴这条直线．故选D.]3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)A.B．1C．2D．4C　[由已知，可知抛物线的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切．圆心为(3,0)，半径为4，圆心到直线的距离d＝3＋＝4，解得p＝2.]4．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，

5、AF

6、＝x0，则x0等于(　　)A．1　　　　B．2C．4　　　　D．8A　[由抛物线方程y2＝x，知p＝，又因为

7、AF

8、＝x0＋＝x0＋＝x0，所以得x

9、0＝1.]5．已知F为抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，M为其上一点，且

10、MF

11、＝2p，则直线MF的斜率为(　　)A．－B．±C．－D．±B　[由题意，得F，准线为y＝－.过点M作MN垂直于准线于N，过F作FQ垂直于MN于Q，则

12、MN

13、＝

14、MF

15、＝2p，

16、MQ

17、＝p.故∠MFQ＝30°.即直线MF的倾斜角为150°或30°，斜率为－或.]二、填空题6．抛物线y2＝2px过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________．[解析]　因为y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝.[答案]　7．一动圆的圆心在抛物线

18、y2＝8x上，并且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点________．[解析]　直线x＋2＝0是抛物线y2＝8x的准线，根据抛物线的定义，动圆必过焦点(2,0)．[答案]　(2,0)8．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是________．[解析]　设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.[答案]　y2＝8x三、解答题9．(1)求过点P(2，－4)的抛物线的

19、标准方程；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，

20、AF

21、＝5，求抛物线的标准方程．[解]　(1)∵P(2，－4)在第四象限且坐标轴是对称轴，∴设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．将P点的坐标代入，得p＝4或p＝.∴所求抛物线的方程为y2＝8x或x2＝－y.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为：y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)．则由抛物线的定义得5＝

22、AF

23、＝，又(－3)2＝2pm.所以p＝±1或p＝±9.故所求抛物线的方程为y2＝±2x或y2＝±18x.10．求与圆(x－3)2＋y2＝9外切

24、，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程．[解]　设定圆圆心M(3,0)，半径r＝3，动圆圆心P(x，y)，半径为R，则由已知得下列等式∴

25、PM

26、＝

27、x

28、＋3.当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x＝－3的距离相等，∴点P轨迹为抛物线，焦点M(3,0)，准线x＝－3.∴p＝6.抛物线方程为y2＝12x.当x<0时，

29、PM

30、＝3－x，动点P到定点M的距离等于动点P到直线x＝3的距离，点P轨迹为x轴负半轴，∴所求轨迹方程为y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)．[能力提升练]1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C

31、的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)A．－　　　　B．－1C．－　　　D．－C　[因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2，3)在准线上，故－＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.]2．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且

32、PM

33、＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为(　　)A．5　　　　B．10C．20　　　　D.B　[由抛物线方程y2＝4x，易得抛物线的准线l的方程为x＝－1，又由

34、PM

35、＝5，可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为±

36、4，故S△MPF＝×5×4＝10，选B.]3．设抛物线y2＝8x的