2019_2020学年高中数学课时分层作业18双曲线及其标准方程（含解析）北师大版选修2_1

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1、课时分层作业(十八)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足

2、PF1

3、－

4、PF2

5、＝10，则P点的轨迹是(　　)A．双曲线　　　　　B．双曲线的一支C．直线D．一条射线D　[F1，F2是定点，且

6、F1F2

7、＝10，所以满足条件

8、PF1

9、－

10、PF2

11、＝10的点P的轨迹应为一条射线．]2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2，1)的双曲线方程是(　　)A.－y2＝1B.－y2＝1C.－＝1D．x2－＝1A　[∵c2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±，0)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>

12、0)，则由解得∴双曲线方程为－y2＝1.]3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在双曲线上，

13、PF1

14、＝2

15、PF2

16、，则cos∠F1PF2＝(　　)A.　　　B.C.　　　D.C　[由题意可知，a＝＝b，∴c＝2.设

17、PF1

18、＝2x，

19、PF2

20、＝x，∴

21、PF1

22、－

23、PF2

24、＝x＝2，∴

25、PF1

26、＝4，

27、PF2

28、＝2，

29、F1F2

30、＝4.利用余弦定理有cos∠F1PF2＝＝.]4．已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足

31、PF2

32、－

33、PF1

34、＝2，当点P的纵坐标为时，点P到坐标原点的距离是(　　)A.B.C.D．2

35、C　[∵动点P满足

36、PF2

37、－

38、PF1

39、＝2＜2为定值，∴P点轨迹为双曲线的左支，方程为x2－y2＝1(x≤－1)．当y＝时，x2＝y2＋1＝，∴＝＝.]5．已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且

40、AB

41、＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为(　　)A．8B．9C．16D．20B　[△ABF2的周长＝

42、AB

43、＋

44、AF2

45、＋

46、BF2

47、＝20，∵

48、AB

49、＝4，∴

50、AF2

51、＋

52、BF2

53、＝16.根据双曲线定义知，2a＝

54、AF2

55、－

56、AF1

57、＝

58、BF2

59、－

60、BF1

61、，∴4a＝(

62、AF2

63、＋

64、BF2

65、

66、)－(

67、AF1

68、＋

69、BF1

70、)＝16－4＝12，∴a＝3，∴m＝a2＝9.故选B.]二、填空题6．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k的值为________．－1　[因为双曲线焦点在y轴上，所以k＜0，所以双曲线的标准方程为－＝1，且－－＝32＝9，解得k＝－1.]7．经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________．－＝1　[设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，则解得故双曲线的标准方程为－＝1.]8．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其左，右焦点，点

71、P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则

72、PF1

73、＋

74、PF2

75、的值为________．2　[设P在双曲线的右支上，

76、PF1

77、＝2＋x，

78、PF2

79、＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，所以x＝－1，x＋2＝＋1，所以

80、PF2

81、＋

82、PF1

83、＝－1＋＋1＝2.]三、解答题9．已知双曲线C1：x2－＝1.求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程．[解]　双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，设双曲线C2的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则解得所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1

84、.10．已知曲线C：＋＝1(t≠0，t＝±1)．(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．[解]　(1)当

85、t

86、>1时，t2>0，t2－1>0，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆；当

87、t

88、<1时，t2>0，t2－1<0，曲线C为双曲线．(2)证明：当

89、t

90、>1时，曲线C是椭圆，且t2>t2－1，因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1，∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．当

91、t

92、<1时，双曲线C的方程为－＝1，∵c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1，∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，

93、0)．综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．[能力提升练]1．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为(　　)A．1或21B．14或36C．2D．21D　[设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设

94、PF1

95、＝11，根据双曲线的定义知

96、

97、PF1

98、－

99、PF2

100、

101、＝2a＝10，所以

102、PF2

103、＝1或

104、PF2

105、＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，故舍去

106、PF2

107、＝1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D.]2．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0，2)，

108、则此双曲线的方程是(　　)A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1B　[据已知条件得焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝5.①∵线段PF