2019_2020学年高中数学课时分层作业16抛物线及其标准方程（含解析）北师大版

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1、课时分层作业(十六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为(　　)A．(－1，0)　　　　B．(1，0)C．(0，－1)D．(0，1)B　[抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－且过点(－1，1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．]2．设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是(　　)A．4　　　B．5C．6　　　　D．7B　[抛物线C的准线方程为x＝－1，设抛物线C的焦点为F，由抛物线的定义知，

2、PF

3、＝d(d为

4、点P到抛物线C的准线的距离)，又d＝4＋1＝5，所以

5、PF

6、＝5.]3．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4xA　[设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2，0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2，0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.故选A.]4．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，

7、AF

8、＝x0，则x0＝(　　)A．1B．2C．4D．8A　[由题意知抛物线的准线

9、为x＝－.因为

10、AF

11、＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝

12、AF

13、＝x0，解得x0＝1，故选A.]5．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)A．2B．3C.D.A　[易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，其中F(1，0)为抛物线y2＝4x的焦点．由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离d＝＝2.]二、填空题6．抛物线y2＝2px过点M(2，2)，则点M到抛物线准线的距离为________．　[因为y2＝2

14、px过点M(2，2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝.]7．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．4　[椭圆＋＝1的右焦点为(2，0)，抛物线y2＝2px的焦点为.∴＝2，∴p＝4.]8．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2，0)，则抛物线的准线方程为________(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)．x＝－2　[由直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2，0)为焦点，故准线方程为x＝－2.]三、解答题9．河上有座抛物线形拱桥，当水面距离拱桥顶5m时

15、，水面宽为8m，一条小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？[解]　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设桥拱的抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)．由22＝－yA，得yA＝－，又知船面露出水面上部分高为0.75m，所以h＝

16、yA

17、＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通

18、航．10．如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．[解]　(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是，4＋＝5，p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)．又F(1，0)，所以kAF＝.因为MN⊥FA，所以kMN＝－.则FA的方程为y＝(x－1)，MN的方程为y＝－x＋2.解方程组得所以N.[能力提升练]1．O

19、为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若

20、PF

21、＝4，则△POF的面积为(　　)A．2B．2C．2D．4C　[抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由

22、PF

23、＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而yP＝±2，∴S△POF＝

24、OF

25、·

26、yP

27、＝××2＝2.]2．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM＝，点P是平面ABCD上的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则点P的轨迹是(　　)A．抛物线B．圆C．直线D．以上都不对A　[作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ADD1A