2019_2020学年高中数学课时分层作业12抛物线及其标准方程(含解析)新人教A版

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1、课时分层作业(十二) 抛物线及其标准方程(建议用时:60分钟)[基础达标练]一、选择题1.准线与x轴垂直,且经过点(1,-)的抛物线的标准方程是(  )A.y2=-2x  B.y2=2xC.x2=2yD.x2=-2yB [由题意可设抛物线的标准方程为y2=ax,则(-)2=a,解得a=2,因此抛物线的标准方程为y2=2x,故选B.]2.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在双曲线-=1上,则抛物线的方程为(  )A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=±8xD [由题意抛物线的焦点坐标为(2,0)或(-2,0),因此抛物线方程为y2=±8x.]3.设抛物线y2=

2、8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是(  )A.4B.6    C.8    D.12B [抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,则点P到准线的距离为6,即点P到抛物线焦点的距离是6.]4.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为(  )A.-B.-1C.-D.-C [抛物线的准线方程为x=-2,则焦点为F(2,0).从而kAF==-.]5.如图所示,南北方向的公路l,A地在公路正东2km处,B地在A东偏北30°方向2km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等.现要在曲线PQ上建一座码头,向A、

3、B两地运货物,经测算,从M到A、到B修建费用都为a万元/km,那么,修建这条公路的总费用最低是(单位:万元)(  )A.(2+)aB.2(+1)aC.5aD.6aC [依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线,根据抛物线的定义知:欲求从M到A,B修建公路的费用最低,只需求出B到直线l距离即可,因B地在A地东偏北30°方向2km处,∴B到点A的水平距离为3(km),∴B到直线l距离为:3+2=5(km),那么修建这两条公路的总费用最低为:5a(万元),故选C.]二、填空题6.抛物线y=2x2的准线方程为________.y=- [化方程为标准方程为x2=y,故=,开口向上,∴

4、准线方程为y=-.]7.抛物线y=-x2上的动点M到两定点F(0,-1),E(1,-3)的距离之和的最小值为________.4 [抛物线标准方程为x2=-4y,其焦点坐标为(0,-1),准线方程为y=1,则

5、MF

6、的长度等于点M到准线y=1的距离,从而点M到两定点F,E的距离之和的最小值为点E(1,-3)到直线y=1的距离.即最小值为4.]8.对于标准形式的抛物线,给出下列条件:①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1).其中满足抛物线方程为y2=10x的是________.(要求填写适合条件

7、的序号)②④ [抛物线y2=10x的焦点在x轴上,②满足,①不满足;设M(1,y0)是y2=10x上的一点,则

8、MF

9、=1+=1+=≠6,所以③不满足;由于抛物线y2=10x的焦点为,过该焦点的直线方程为y=k,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则k=-2,此时存在,所以④满足.]三、解答题9.在直角坐标系xOy中,曲线C1上的点均在圆C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.求曲线C1的方程.[解] 法一:设点M的坐标为(x,y),由已知得

10、x+2

11、=-3.易知圆C2上的点位于直线x=-2的右侧,于

12、是x+2>0,所以=x+5.化简得曲线C1的方程为y2=20x.法二:由题设知,条件“对C1上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x=-5的距离”.所以,曲线C1是以点(5,0)为焦点,直线x=-5为准线的抛物线,所以曲线C1的方程为y2=20x.10.如图是抛物线型拱桥,设水面宽

13、AB

14、=18米,拱顶距离水面8米,一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若

15、CD

16、=9米,那么

17、DE

18、不超过多少米才能使货船通过拱桥?[解] 如图所示,以点O为原点,过点O且平行于AB的直线为x

19、轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则B(9,-8).设抛物线方程为x2=-2py(p>0).∵B点在抛物线上,∴81=-2p·(-8),∴p=,∴抛物线的方程为x2=-y.当x=时,y=-2,即

20、DE

21、=8-2=6.∴

22、DE

23、不超过6米才能使货船通过拱桥.[能力提升练]1.已知P为抛物线y2=4x上的一个动点,直线l1:x=-1,l2:x+y+3=0,则P到直线l1,l2的距离之和的最小值为(  )A.2B.4C.D.+1A [将P点到直线l1:x=-1的距离转化

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1、课时分层作业(十二) 抛物线及其标准方程(建议用时:60分钟)[基础达标练]一、选择题1.准线与x轴垂直,且经过点(1,-)的抛物线的标准方程是(  )A.y2=-2x  B.y2=2xC.x2=2yD.x2=-2yB [由题意可设抛物线的标准方程为y2=ax,则(-)2=a,解得a=2,因此抛物线的标准方程为y2=2x,故选B.]2.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在双曲线-=1上,则抛物线的方程为(  )A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=±8xD [由题意抛物线的焦点坐标为(2,0)或(-2,0),因此抛物线方程为y2=±8x.]3.设抛物线y2=

2、8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是(  )A.4B.6    C.8    D.12B [抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,则点P到准线的距离为6,即点P到抛物线焦点的距离是6.]4.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为(  )A.-B.-1C.-D.-C [抛物线的准线方程为x=-2,则焦点为F(2,0).从而kAF==-.]5.如图所示,南北方向的公路l,A地在公路正东2km处,B地在A东偏北30°方向2km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等.现要在曲线PQ上建一座码头,向A、

3、B两地运货物,经测算,从M到A、到B修建费用都为a万元/km,那么,修建这条公路的总费用最低是(单位:万元)(  )A.(2+)aB.2(+1)aC.5aD.6aC [依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线,根据抛物线的定义知:欲求从M到A,B修建公路的费用最低,只需求出B到直线l距离即可,因B地在A地东偏北30°方向2km处,∴B到点A的水平距离为3(km),∴B到直线l距离为:3+2=5(km),那么修建这两条公路的总费用最低为:5a(万元),故选C.]二、填空题6.抛物线y=2x2的准线方程为________.y=- [化方程为标准方程为x2=y,故=,开口向上,∴

4、准线方程为y=-.]7.抛物线y=-x2上的动点M到两定点F(0,-1),E(1,-3)的距离之和的最小值为________.4 [抛物线标准方程为x2=-4y,其焦点坐标为(0,-1),准线方程为y=1,则

5、MF

6、的长度等于点M到准线y=1的距离,从而点M到两定点F,E的距离之和的最小值为点E(1,-3)到直线y=1的距离.即最小值为4.]8.对于标准形式的抛物线,给出下列条件:①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1).其中满足抛物线方程为y2=10x的是________.(要求填写适合条件

7、的序号)②④ [抛物线y2=10x的焦点在x轴上,②满足,①不满足;设M(1,y0)是y2=10x上的一点,则

8、MF

9、=1+=1+=≠6,所以③不满足;由于抛物线y2=10x的焦点为,过该焦点的直线方程为y=k,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则k=-2,此时存在,所以④满足.]三、解答题9.在直角坐标系xOy中,曲线C1上的点均在圆C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.求曲线C1的方程.[解] 法一:设点M的坐标为(x,y),由已知得

10、x+2

11、=-3.易知圆C2上的点位于直线x=-2的右侧,于

12、是x+2>0,所以=x+5.化简得曲线C1的方程为y2=20x.法二:由题设知,条件“对C1上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x=-5的距离”.所以,曲线C1是以点(5,0)为焦点,直线x=-5为准线的抛物线,所以曲线C1的方程为y2=20x.10.如图是抛物线型拱桥,设水面宽

13、AB

14、=18米,拱顶距离水面8米,一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若

15、CD

16、=9米,那么

17、DE

18、不超过多少米才能使货船通过拱桥?[解] 如图所示,以点O为原点,过点O且平行于AB的直线为x

19、轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则B(9,-8).设抛物线方程为x2=-2py(p>0).∵B点在抛物线上,∴81=-2p·(-8),∴p=,∴抛物线的方程为x2=-y.当x=时,y=-2,即

20、DE

21、=8-2=6.∴

22、DE

23、不超过6米才能使货船通过拱桥.[能力提升练]1.已知P为抛物线y2=4x上的一个动点,直线l1:x=-1,l2:x+y+3=0,则P到直线l1,l2的距离之和的最小值为(  )A.2B.4C.D.+1A [将P点到直线l1:x=-1的距离转化

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