2019_2020学年高中数学课时分层作业14抛物线的标准方程（含解析）新人教B版

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1、课时分层作业(十四)　抛物线的标准方程(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．以坐标原点为顶点，直线x＝1为准线的抛物线的标准方程为(　　)A．y2＝2x　　　　　B．y2＝－2xC．y2＝4xD．y2＝－4xD　[由题意可设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，由＝1，得p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x，故选D.]2．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是(　　)A．y2＝－x或x2＝yB．y2＝x或x2＝yC．y2＝x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－yA　[直线方程可化为a(x＋2)－x－y＋1＝

2、0，由得P(－2,3)，经检验知A正确．]3．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，x1＋x2＝3p，则

3、PQ

4、等于(　　)A．4pB．5pC．6pD．8pA　[设抛物线的焦点为F，则

5、PQ

6、＝

7、PF

8、＋

9、QF

10、＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝3p＋p＝4p.]4．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60cm，灯深40cm，则光源到反光镜顶点的距离是(　　)A．11.25cmB．5.625cmC．20cmD．10cmB　[如图建立直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0)，因为A(4

11、0，30)在抛物线上，∴302＝2p×40，∴p＝，∴光源到反光镜顶点的距离为＝＝＝5.625(cm)．]5．已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)的准线与抛物线C2：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是(　　)A．x2＝2yB．x2＝yC．x2＝yD．x2＝yA　[由题意，得F，不妨设A，B－p，－，∴S△FAB＝×2p×p＝1，∴p＝1，即抛物线C1的方程是x2＝2y，故选A.]二、填空题6．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则

12、

13、＋

14、

15、＋

16、

17、＝________.6　[因为＋＋＝0，所

18、以点F为△ABC的重心，所以A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以

19、

20、＋

21、

22、＋

23、

24、＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.]7．已知抛物线x2＝4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是________．±4　[由抛物线方程，可知其准线方程为y＝－1，所以点P的纵坐标为4，代入抛物线方程可知横坐标为±4.]8．抛物线x＝ay2(a≠0)的焦点坐标为________；准线方程为________．　x＝－　[抛物线x＝ay2(a≠0)可化为y2＝x(a≠0)．①当a>0时，＝，抛物线开口向右，焦点坐标为，准线方程为x＝－.②当a<0时，＝－，抛物

25、线开口向左，焦点坐标为，准线方程为x＝－.故不论a>0，还是a<0，焦点坐标都是，准线方程都为x＝－.]三、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过－＝1的一个焦点，且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程．[解]　因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．将点代入方程，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1.由此知双曲线方程中c＝1，焦点为，(1,0)，点到两焦点距离之差2a＝1，所以双曲线的标准方程为－＝1.10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线

26、的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m.(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7m，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少m(精确到0.1m)?[解]　如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，代入方程解得p＝，所以该抛物线的方程为x2＝－5y.(2)设车辆的高为h，则

27、DB

28、＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度

29、为4.0m.[能力提升练]1．点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴(　　)A．相交　　　　　　　B．相切C．相离D．位置由F确定B　[如图，抛物线的焦点为F，M为PF的中点，准线是l：x＝－.作PH⊥l于H，交y轴于Q，那么

30、PF

31、＝

32、PH

33、，且

34、QH

35、＝

36、OF

37、＝，作MN⊥y轴于N，则MN是梯形PQOF的中位线，即

38、MN

39、＝(

40、OF

41、＋

42、PQ

43、)＝

44、PH

45、＝

46、PF

47、，故以PF为直径的圆与y轴相切．]2．已知点P是抛物线y2＝2x上的动