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《2019_2020学年高中数学课时分层作业14抛物线的几何性质（二）（含解析）新人教B版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时分层作业(十四) 抛物线的几何性质(二)(建议用时：60分钟)[基础达标练]1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则
2、AF
3、·
4、BF
5、的最小值是( )A．2 B． C．4 D．2C [设直线AB的倾斜角为θ，可得
6、AF
7、＝，
8、BF
9、＝，则
10、AF
11、·
12、BF
13、＝×＝≥4.]2．已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( )A．x2＝yB．x2＝6yC．x2＝－3yD．x2＝3yD [设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，得x
14、2－2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.]3．已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则
15、AB
16、的最大值为( )A．1B．2C．3D．4D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，
17、AF
18、＋
19、BF
20、＝x1＋x2＋1＝4，由图可知
21、AF
22、＋
23、BF
24、≥
25、AB
26、⇒
27、AB
28、≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，
29、AB
30、取得最大值4.]4．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若
31、AB
32、＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于( )A．B．2C．D
33、．4C [易知直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点，∴
34、AB
35、为焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点N，∴
36、AB
37、＝x1＋x2＋p＝4.∴＝.∴AB中点到直线x＋＝0的距离为＋＝.]5．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为( )A．y2＝3x或y2＝－3xB．y2＝－3xC．y2＝6xD．y2＝6x或y2＝－6xA [设所求抛物线的方程为y2＝2mx(m≠0)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则
38、y1
39、＋
40、y2
41、＝2
42、，即y1－y2＝2，由对称性知y2＝－y1，∴y1＝.将y1＝代入x2＋y2＝4，得x＝±1，将点(1，)，(－1，)分别代入方程y2＝2mx中，得3＝2m或3＝－2m，解得m＝或m＝－.故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.]6．已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.－ [由得ax2－x－1＝0.令Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.]7．已知焦点为F的抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则
43、AB
44、的最大值为________．6 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，那么
45、AF
46、＋
47、
48、BF
49、＝x1＋x2＋2，又
50、AF
51、＋
52、BF
53、≥
54、AB
55、⇒
56、AB
57、≤6，当AB过焦点F时取得最大值6.]8．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．y＝x [∵焦点F为(1,0)，∴抛物线方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2，两式相减得y－y＝4(x2－x1)．整理得＝，由于kAB＝，而AB中点为(2,2)，所以y2＋y1＝4，于是kAB＝＝1，因此直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.]9．设
58、抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．(1)设l的斜率为1，求
59、AB
60、的值；(2)求证：·是一个定值．[解] (1)由题意可知抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，∴直线l的方程为y＝x－1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，由直线l过焦点，得
61、AB
62、＝
63、AF
64、＋
65、BF
66、＝x1＋x2＋2＝8.(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．∵·
67、＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，∴·是一个定值．10．已知平面内一动点P(x，y)(x≥0)到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1，(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A，B，求△AOB面积的最小值.[解] (1)∵平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1，∴当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x＝－1的距离，∴动点P的轨迹为抛物线，方程为y2＝4
68、x(x≥0)．∴动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)．(2)设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，过点F的直线l的方程为x＝my＋1，代入y2
