2019_2020学年高中数学课时分层作业15抛物线的几何性质（一）（含解析）新人教B版

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1、课时分层作业(十五)　抛物线的几何性质(一)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　)A．x2＝±3y　　　　　B．y2＝±6xC．x2＝±12yD．x2＝±6yC　[依题意知抛物线方程为x2＝±2py(p＞0)的形式，又＝3，∴p＝6,2p＝12，故方程为x2＝±12y.]2．若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为(　　)A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．4C　[双曲线的方程可化为－＝1，∴双曲线的左焦点为.又∵抛物线的准线为x＝

2、－，由题意－＝－，解得p＝4.]3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，如果x1＋x2＝6，则

3、AB

4、的值为(　　)A．10B．8C．6D．4B　[∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.∴由抛物线定义知：

5、AF

6、＝x1＋1，

7、BF

8、＝x2＋1，∴

9、AB

10、＝

11、AF

12、＋

13、BF

14、＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.]4．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是(　　)A．8p2B．4p2C．2p2D．p2B　[由抛物线的对称性，可知kOA＝1，可得A，B的坐标分别为(2p,

15、2p)，(2p，－2p)，S△ABO＝×2p×4p＝4p2.]5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　　)A．－4B．4C．p2D．－p2A　[①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，∴x1x2＝；∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴＝－4.②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为y＝k，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝.∴y1y2＝－p2.故＝－4.]二、填空题6．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于

16、A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.6　[由题意知B，代入方程－＝1得p＝6.]7．已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．x－y－1＝0　[依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.]8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方

17、程是________．y2＝5x　[线段OA的垂直平分线为4x＋2y－5＝0，与x轴的交点为，∴抛物线的焦点为，∴其标准方程是y2＝5x.]三、解答题9．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．[解]　依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋p.设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线的垂线，垂足为C，D，则由抛物线定义得

18、AB

19、＝

20、AF

21、＋

22、FB

23、＝

24、AC

25、＋

26、BD

27、＝x1＋＋x2＋，即x1＋＋x2＋＝8.①又A(x1，y1)，B(x

28、2，y2)是直线和抛物线的交点，由消去y，得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p.将其代入①，得p＝2.∴所求的抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.综上所述，抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；(2)＋为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．[证明]　(1)由已知得抛物线焦点坐标为.由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2p

29、x，得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*)由y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，所以x1x2＝＝＝.(2)＋＝＋＝.因为x1x2＝，x1＋x2＝

30、AB

31、－p，代入上式，得＋＝＝(定值)．(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则

32、MN

33、＝(

34、AC

35、＋

36、BD

37、)＝(

38、AF

39、＋

40、BF

41、)＝

42、AB

43、.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．[能力提升练]1．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的

44、焦点F，A