2019_2020学年高中数学课时分层作业13双曲线的几何性质(含解析)新人教B版

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1、课时分层作业(十三) 双曲线的几何性质(建议用时:60分钟)[基础达标练]一、选择题1.若双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为(  )A.    B.5    C.    D.2A [由题意得b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2.∴e2==5,∴e=.]2.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为(  )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1A [由已知得椭

2、圆中a=13,c=5,曲线C2为双曲线,由此知道在双曲线中a=4,c=5,故双曲线中b=3,双曲线方程为-=1.]3.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(  )A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0A [由题意知e1=,e2=,∴e1·e2=·==.又∵a2=b2+c,c=a2+b2,∴c=a2-b2,∴==1-4,即1-4=,解得=±,∴=.令-=0,解得bx±ay=0,∴x±y=0.]4.(2018·全国

3、卷Ⅰ)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则

4、MN

5、=(  )A.B.3C.2D.4B [因为双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,所以∠MON=60°.不妨设过点F的直线与直线y=x交于点M,由△OMN为直角三角形,不妨设∠OMN=90°,则∠MFO=60°,又直线MN过点F(2,0),所以直线MN的方程为y=-(x-2),由得所以M,所以

6、OM

7、==,所以

8、MN

9、=

10、OM

11、=3,故选B.]5.已知M(x0,y0)

12、是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是(  )A.B.C.D.A [由题意知a=,b=1,c=,∴F1(-,0),F2(,0),∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0).∵·<0,∴(--x0)(-x0)+y<0,即x-3+y<0.∵点M(x0,y0)在双曲线上,∴-y=1,即x=2+2y,∴2+2y-3+y<0,∴-<y0<.故选A.]二、填空题6.已知双曲线-y2=1(a>0)的一条渐近线为x+y=0,则a=________. [双曲线-y2=1的渐

13、近线为y=±,已知一条渐近线为x+y=0,即y=-x,因为a>0,所以=,所以a=.]7.与椭圆+=1共焦点,离心率之和为的双曲线标准方程为________.-=1 [椭圆的焦点是(0,4),(0,-4),∴c=4,e=,∴双曲线的离心率等于-=2,∴=2,∴a=2.∴b2=42-22=12.∴双曲线的方程为-=1.]8.在平面直角坐标系xOy中,过双曲线C:x2-=1的右焦点F作x轴的垂线l,则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是________.4 [由题意得a2=1,b2=3,所以c=2,故

14、F(2,0),从而l:x=2,又双曲线的渐近线方程为y=±x,所以直线l与渐近线交于(2,±2),因此,S=×2×4=4.]三、解答题9.已知双曲线3x2-y2=3,直线l过右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A、B两点,试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦AB的长.[解] 双曲线方程可化为-=1,c2=a2+b2=4,∴c=2.∴F2(2,0),又l的斜率为1.∴直线l的方程为y=x-2,代入双曲线方程,得2x2+4x-7=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),∵x1·x2=-<0,∴

15、A、B两点不位于双曲线的同一支上.∵x1+x2=-2,x1·x2=-,∴

16、AB

17、=

18、x1-x2

19、==·=6.10.设双曲线-=1的两个焦点分别为F1,F2,离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1,l2的方程;(2)若A,B分别为l1,l2上的点,且2

20、AB

21、=5

22、F1F2

23、,求线段AB的中点M的轨迹方程.[解] (1)∵e=2,∴c2=4a2.∵c2=a2+3,∴a=1,c=2.∴双曲线方程为y2-=1,渐近线方程为y=±x.∴l1的方程为y=x,l2的方程为y=-x.(2)设A(x1,y1),B(x2,

24、y2),AB的中点为M(x,y).∵2

25、AB

26、=5

27、F1F2

28、=5×2c=20,∴

29、AB

30、=10,∴=10,即(x1-x2)2+(y1-y2)2=100.∵y1=x1,y2=-x2,x1+x2=2x,y1+y2=2y,∴y1+y2=(x1-x2),y1-y2=(x1+x2),∴y=(x1-x2),y1-y2=x,代入(x1-x2)2+(y1-y2)2=100,得3×(2y)2+(2x)2=100,整理得+=1.[

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