2019_2020学年高中数学课时分层作业9椭圆的几何性质（二）（含解析）新人教B版

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1、课时分层作业(九)　椭圆的几何性质(二)(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)A．相交　　　　B．相切C．相离D．不确定A　[直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，该点在椭圆内部，因此直线与椭圆相交．]2．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)A．2B．1C．0　　D．0或1A　[由题意，得＞2，所以m2＋n2＜4，则－2＜m＜2，－2

2、，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有2个交点．故选A.]3．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)A．B．C．D．B　[设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝·＝＝＝－，因为k2∈[－2，－1]，所以k1∈.]4．若椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y－1＝0交于A，B两点，过原点与线段AB的中点的直线的斜率为，则的值为(　　)A．B．C．D．B　[由直线x＋y－1＝0，可得y＝－x＋

3、1，代入mx2＋ny2＝1得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝2－(x1＋x2)＝.设AB的中点为M，则M的坐标为，∴OM的斜率k＝＝，∴＝.]5．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与其一个交点的横坐标为b，则k的值为(　　)A．±1B．±C．±D．±C　[因为椭圆的离心率为，所以有＝，即c＝a，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2.当x＝b时，交点的纵坐标为y＝kb，即交点为(b，kb)，代入椭圆方程

4、＋＝1，即＋k2＝1，k2＝，所以k＝±，选C.]6．直线y＝x－1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为________．　[联立直线与椭圆方程得⇒5x2－8x＝0，解得x1＝0，x2＝，∴弦长d＝

5、x1－x2

6、＝×＝.]7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，

7、

8、＝1，且·＝0，则

9、

10、的最小值是________．　[易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵·＝0，∴⊥.∴

11、

12、2＝

13、

14、2－

15、

16、2＝

17、

18、2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故

19、

20、min＝2，∴

21、

22、min＝.]8．已知两定点A(－1,0)

23、和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．　[A(－1,0)关于直线l：y＝x＋2的对称点为A′(－2，1)，连接A′B交直线l于点P，则椭圆C的长轴长的最小值为

24、A′B

25、＝＝，所以椭圆C的离心率的最大值为＝＝.]9．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，F1，F2为其焦点，一直线过点F1与椭圆相交于A，B两点，且△F2AB的最大面积为，求椭圆的方程．[解]　由e＝得a∶b∶c＝∶1∶1，所以椭圆方程设为x2＋2y2

26、＝2c2.设直线AB：x＝my－c，由得(m2＋2)y2－2mcy－c2＝0，Δ＝4m2c2＋4c2(m2＋2)＝4c2(2m2＋2)＝8c2(m2＋1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是方程的两个根．由根与系数的关系得所以

27、y1－y2

28、＝＝，S＝

29、F1F2

30、

31、y1－y2

32、＝c·2c·＝≤2c2·＝c2，当且仅当m＝0时，即AB⊥x轴时取等号，∴c2＝，c＝1，所以，所求椭圆方程为＋y2＝1.10．椭圆＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点)．(1)求证：

33、＋等于定值；(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．[解]　(1)证明：椭圆的方程可化为b2x2＋a2y2－a2b2＝0.由消去y得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)＞0得a2＋b2＞1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.∴x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝0.∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，即－＋1＝0.∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.∴＋等于定值．(2)∵e＝

34、，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2，又∵a2＋b2＝2a2b2，∴2－e2＝2a2(1－e2)，即a2＝＝＋.∵≤e≤，∴≤a2≤，即≤a≤，∴≤2a≤，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．[能力提升练]1．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)A．3B．2　　　C．2