2019_2020学年高中数学课时分层作业11双曲线的几何性质（含解析）新人教B版

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1、课时分层作业(十一)　双曲线的几何性质(建议用时：60分钟)[基础达标练]1．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)A．　　　B．5　　　　C.　　D．2A　[由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝＝5，∴e＝.]2．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为(　　)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1A　[由已知得椭圆中a＝13，c＝5，曲线C2为双曲线，由此知道在双曲线中

2、a＝4，c＝5，故双曲线中b＝3，双曲线方程为－＝1.]3．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)A．(，＋∞)　　B．(，2)C．(1，)D．(1,2)C　[∵e＝＝，∴e2＝＝1＋，又∵a>1，∴0<<1，∴1<1＋<2.∴10，b<0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)A．B．2C．D．2D　[法一：由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.法二：离心率e

3、＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.]5．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)A．B．C．D．A　[由题意知a＝，b＝1，c＝，∴F1(－，0)，F2(，0)，∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．∵·＜0，∴(－－x0)(－x0)＋y＜0，即x－3＋y＜0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y＜0，∴－＜y0＜.故选A.]6．已知双曲线－y2＝1(

4、a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________.　[双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>0，所以＝，所以a＝.]7．与椭圆＋＝1共焦点，离心率之和为的双曲线的标准方程为________．－＝1　[椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，∴c＝4，e＝，∴双曲线的离心率等于－＝2，∴＝2，∴a＝2.∴b2＝42－22＝12.∴双曲线的方程为－＝1.]8．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x2－＝1的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是________．4　[

5、由题意得a2＝1，b2＝3，所以c＝2，故F(2,0)，从而l：x＝2，又双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以直线l与渐近线交于(2，±2)，因此，S＝×2×4＝4.]9．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．[解]　双曲线方程可化为－＝1，故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2.∴F2(2,0)，又l的斜率为1.∴直线l的方程为y＝x－2，代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2

6、＝－＜0，∴A，B两点不位于双曲线的同一支上．∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，∴

7、AB

8、＝

9、x1－x2

10、＝＝·＝6.10．设双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2

11、AB

12、＝5

13、F1F2

14、，求线段AB的中点M的轨迹方程．[解]　(1)∵e＝2，∴c2＝4a2.∵c2＝a2＋3，∴a＝1，c＝2.∴双曲线方程为y2－＝1，渐近线方程为y＝±x.∴l1的方程为y＝x，l2的方程为y＝－x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y

15、)．∵2

16、AB

17、＝5

18、F1F2

19、＝5×2c＝20，∴

20、AB

21、＝10，∴＝10，即(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100.∵y1＝x1，y2＝－x2，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，∴y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，∴y＝(x1－x2)，y1－y2＝x，代入(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100，得3×(2y)2＋(2x)2＝100，整理得＋＝1.[能力提升练]1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线3x＋y＋3＝0垂直，以C的右焦点F为圆心的圆(x－c)2＋y2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的

22、焦距为(　　)A．1　　　B．2　　　　C.　　D．2D　[由直线垂直的条件，可得·＝－1，所以＝，由点F(c,0)到渐近