专题11 函数应用问题-备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板（解析版）

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1、【高考地位】应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题、在近几年全国各地高考中经常出现。数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性、因而应用题的非数学背景是多种多样的、解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题、并舍弃与数学无关的非本质因素、通过抽象转化成相应的数学问题、或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。在高考中要处理好函数应用题、学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键、【方法点评】类型解函数应用题的一般步骤使用情景：函数的实际应用问题解题模板：第一步审题—

2、—弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；第二步建模——将文字语言转化成数学语言、用数学知识建立相应的数学模型；第三步解模——求解数学模型、得到数学结论；第四步还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步反思——对于数学模型得到的数学结果、必须验证这个数学结果对实际问题的合理性、例1为了迎接世博会、某旅游区提倡低碳生活、在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用、管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验、若每辆自行车的日租金不超过6元、则自行车可以全部租出；若超出

3、6元、则每超过1元、租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算、每辆自行车的日租金（元）只取整数、并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用、用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）。（1）求函数的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时、才能使一日的净收入最多？【答案】（1）、定义域为；（2）11元．【解析】试题分析：（1）分、根据净收入与日租金的关系分段求得函数的解析式；（2）根据函数的单调性分段求得各段函数的最大值、从而

4、求得自行车的日租金的定价．[来源:Z&xx&k、Com]（2）对于、显然当时、（元）．对于、当时、（元）∵、∴当每辆自行车的日租金定在11元时、才能使一日的净收入最多．学科网考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．【思路点睛】（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式、写出该分段函数、是解决该题的关键、注意实际问题中的自变量取值范围；（2）利用一次函数、二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的

5、最大值．例2如图、某单位准备修建一个面积为平方米的矩形场地（图中）的围墙、且要求中间用围墙隔开、使得图中为矩形、为正方形．已知围墙（包括）的修建费用均为元/米．设米、围墙（包括）的修建总费用为元．（1）求出关于的函数关系式；（2）当为何值时、围墙（包括）的修建总费用最小？并求出的最小值．【答案】（1）；（2）当为米时、最小、的最小值为元．【解析】试题分析：（1）借助题设条件建立方程求解；（2）借助题设运用基本不等式的知识探求．学科网考点：基本不等式等有关知识在实际生活中的综合运用．【易错点晴】应

6、用题是高中数学问题中的常见题型,也是高考常考题型之一．这类问题的解答思路是:一、仔细阅读问题中的文字叙述；二、理解题意搞清问题中的数量关系；三、构建合适的数学模型；四、运用数学知识进行分析和求解．本题以修建围墙的费用为背景设置的实际问题,其目的是考查基本不等式等有关知识的综合运用．求解时先阅读理解题意,再构建函数关系,最后再运用基本不等式求解,从而使得问题获解．例3某山区外围有两条相互垂直的直线型公路、为进一步改善山区的交通现状、计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公

7、路为、山区边界曲线为．计划修建的公路为、如图所示、为的两个端点、测得点到的距离分别为5千米和40千米、点到的距离分别为20千米和2．5千米、以所在直线分别为轴、建立平面直角坐标系．假设曲线符合函数（其中为常数）模型．（1）求的值；（2）设公路与曲线相切于点、的横坐标为．①请写出公路长度的函数解析式、并写出其定义域；②当为何值时、公路的长度最短？求出最短长度．【答案】（1）；（2）①；②当时、公路的长度最短、最短长度为千米．【解析】试题解析：（1）由题意知、点的坐标分别为．将其分别代入、得、解得．

8、（2）①由（1）知、、则点的坐标为、设在点处的切线交轴分别交于点、、则的方程为、由此得．故考点：导数及其应用．【变式演练1】在某海滨城市附近海面有一台风、据监测、当前台风中心位于城市（如图）的东偏南方向300km的海面处、并以20km/h的速度向西偏北方向移动、台风侵袭的范围为圆形区域、当前半径为60km、并以10km/h的速度不断增大、问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风侵袭的时间有多少小时？【答案】小时后该城市开始受到台风侵袭、受到台风侵袭的时间有小时．【解析】试题分析：建立坐标系、