二次函数性质的综合应用 (2)

《二次函数性质的综合应用 (2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二十二章二次函数综合应用教学目标:1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系；2.一元二次方程根的判别式，判定抛物线与轴的交点情况；3.会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。4.会利用二次函数的图象及性质解决有关几何问题。教学重点:二次函数性质的综合运用教学难点:二次函数性质的综合运用教学过程:习题1．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=2x﹣4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是　　．分析：作AB′⊥BB′，B′即为当线段AB最短时B点坐标，求出AB′的解析式，与BB′组成方程组，求出其交点坐标即可．解答：解：设

2、AB′解析式为y=kx+b，∵AB′⊥BB′，BB′解析式为y=2x﹣4，∴2k=﹣1，k=﹣0.5
，于是函数解析式为y=﹣0.5
x+b，将A（﹣1，0）代入y=﹣0.5
x+b得，
b=﹣0.5
，则函数解析式为y=﹣0.5
x﹣0.5
，将两函数解析式组成方程组得，解得
，故B点坐标为（0.2
，﹣0.4
）．故答案为（0.2
，﹣0.4
）．2.已知抛物线y=x2-2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（-1，0）．（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E

3、的度数；（3）如图2，已知点P（-4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．解：(1)把x=－1，y=0代入y=x2－2x＋c得：1＋2＋c=0，∴c=－3∴y=x2－2x－3=y=(x－1)2－4，∴顶点坐标为(1，－4)；(2)如图1，连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，由x2－2x－3=0得x=－1或x=3∴B(3，0)，当x=0时，y=x2－2x－3=－3，∴C(0，－3)，∴OB=OC=3，∵∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，，又∵DF=CF=1，∠CFD=90

4、°，∴∠FCD=45°，，∴∠BCD=180°－∠OCB－∠FCD=90°．∴∠BCD=∠COA，又∵∴△DCB∽△AOC，∴∠CBD=∠OCA，又∵∠ACB=∠CBD＋∠E=∠OCA＋∠OCB∴∠E=∠OCB=45°，(3)如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点∵∠PMA=45°，∴∠EMH=45°，∴∠MHE=90°，∴∠PHB=90°，∴∠DBG＋∠OPN=90°又∴∠ONP＋∠OPN=90°，∴∠DBG=∠ONP又∵∠DGB=∠PON=90°，∴△DGB=∠PON=90°，∴△DGB∽△PON，∴，即

5、：，∴ON=2，∴N(0，－2)，设直线PQ的解析式为y=kx＋b，则，解得：∴，设Q(m，n)且n＜0，∴，又∵Q(m，n)在y=x2－2x－3上，∴n=m2－2m－3，∴，解得：m=2或，∴n=－3或，∴点Q的坐标为(2，－3)或3.已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=AP时，求t的值；（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等

6、边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，∴，解得，∴y=﹣x2﹣x+2．（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，∵AO=BO=2，∴△AOQ≌△BOP，∴OQ=OP=t．①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t．∵BQ=AP，∴2﹣t=（2+t），∴t=．②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t．∵BQ=AP，∴

7、t﹣2=（2+t），∴t=6．综上所述，t=或6时，BQ=AP．（3）当t=﹣1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3）．分析如下：∵AQ⊥BP，∴∠QAO+∠BPO=90°，∵∠QAO+∠AQO=90°，∴∠AQO=∠BPO．在△AOQ和△BOP中，，∴△AOQ≌△BOP，∴OP=OQ，∴△OPQ为等腰直角三角形，∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，∵直线y=x垂直平分PQ，∴M在y=x上，设M（x，y），∴，解得 或，∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．①如图3，当M的坐

8、标为（1，1）时，作MD⊥x轴于D，则有PD=

9、1﹣t

10、，MP2=1+

11、1﹣t

12、2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2，∵△MPQ为等边三角形，∴MP=PQ，∴t2+2t﹣2=0，∴t=﹣1+，t=﹣1﹣（负值舍去）．②如图