二次函数的综合应用（2）

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1、专题复习二次函数的综合应用（2）教学目标：综合二次函数与几何的结合运用教学重点：二次函数和性质教学难点：点的坐标如何转化为线段、角等的数量教学课时：1节教学内容：1、已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条

2、件下，请求出当

3、PM﹣AM

4、的最大值时点M的坐标，并直接写出

5、PM﹣AM

6、的最大值．【答案】（1）；（2）存在，P（5，3）；（3）M（1，0）或（﹣5，）时，

7、PM﹣AM

8、的值最大，为5．【分析】（1）设抛物线的解析式为，把A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出BC与AC的长相等，只有当BP与AC平行且相等时，四边形ACBP为菱

9、形，可得出BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出P坐标，当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；（3）利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点M与点P、A不在同一直线上时，根9据三角形的三边关系

10、PM﹣AM

11、＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，

12、PM﹣AM

13、=PA，当点M与点P、A在同一直线上时，

14、PM﹣AM

15、的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当

16、PM﹣AM

17、的最大值时M坐标，确定出

18、PM﹣AM

19、的最大

20、值即可．【解析】（1）设抛物线的解析式为，∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），∴，解得：a=，b=，c=3，∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为；（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，∴点P的坐标为（5，3），当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱

21、形，则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；（3）设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（1，0），P（5，3），∴，解得：k=，b=，∴直线PA的解析式为，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系

22、PM﹣AM

23、＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，

24、PM﹣AM

25、=PA，∴当点M与点P、A在同一直线上时，

26、PM﹣AM

27、的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，解方程组：，得或，∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，）时，

28、PM﹣AM

29、的值最大，

30、此时

31、PM﹣AM

32、的最大值为5．92、在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行

33、四边形为矩形时，求点N的坐标．【答案】（1）；（2）当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，M（2，6）；（3）P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；N（0，0）或（3，0）．【分析】（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直

34、线AA′9的解析式，再设点M的坐标为：（x，），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4，设点M的坐标为：（x，），则S△AMA′=×4×[﹣（﹣x+4）]==，∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，∴M的坐标为：（2，6）；（3）设点P的坐标为（x，），当P，N，B，Q构成平行四边形时，∵平行四边形ABOC中，点