二次函数的综合应用

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1、二次函数综合应用例题：如图,直线y=−3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A.B两点的抛物线C1交x轴于另一点M(−3,0).(1)求抛物线C1的解析式；(2)直接写出抛物线C1关于y轴的对称图形C2的解析式；(3)如果点A′是点A关于原点的对称点,点D是图形C2的顶点,那么在x轴上是否存在点P,使得△PAD与△A′BO是相似三角形?若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由。考点：[二次函数综合题]分析：（1）利用一次函数解析式求得点A、B的坐标，然后将点A、B、M的坐标分别代入抛物线解析式y=ax2+bx+c（a≠0），列出关于a

2、、b、c的三元一次方程组，通过解方程组即可求得它们的值；（2）关于y轴对称的点的坐标，纵坐标不变，横坐标互为相反数；（3）需要分类讨论：△PAD与△A'BO相似时，相似比是3和两种情况下的点P的坐标．解答：(1)设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)∵直线y=−3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，∴A点坐标为(1,0)、B点坐标为(0,3).又∵抛物线经过A.B.M三点，∴a+b+c=09a−3b+c=0c=3.，解得：a=−1,b=−2,c=3.∴抛物线C1的解析式为：y=−−2x+3.(2)抛物线C1关于y轴的对称图形C

3、2的解析式为：y=−−2x+3=−−2×(−x)+3=−+2x+3，即y=−+2x+3.(3)A′点的坐标为(−1,0),∵y=−+2x+3=−+4，∴该抛物线的顶点为D(1,4).若△PAD与△A′BO相似，①当DAAP=BOOA′=3时,AP=43,P点坐标为(−13,0)或(73,0)；②当DAAP=BOOA′=13时,AP=12,P点坐标为(−11,0)或(13,0)；∴当△PAD与△A′BO是相似三角形时,P点坐标为(−,0)或(,0)或(−11,0)或(13,0).