问题3.4与向量、数列等相结合的三角问题-突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍

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1、在知识点的交汇处命题，是当前高考的热点，三角函数也不例外.三角函数本身就属于代数与儿何的结合体，其函数的思想、儿何的思想、数形结合的思想随处可见.本文拟从其中较为多见的与向量、数列等相结合的三角问题说起.一、三角与向量的交汇现行高中数学•教材屮，向量是继函数Z后的一条主线，贯穿整个高屮数学教学，也在各种问题的解决屮起着广泛的作用.而向量与三角知识的交汇，通常题冃以三角两数为主体，但条件中涉及一些向量只是，如向量的坐标中包含三角表达式，然后给出向量之间的平行、垂直关系，或者用向量的数量积表示函数等等，这种情一况在当前的试题屮还很常见

2、.UUUUULUUU1例1、在中，角B,C的对边分别是a,b,c,若20aBC+15bCA+12cAB=0,则厶ABC最小角的正弦值等于.U17T7Tu1例2、已知向量加=(l,3cosa),n=(l,4tana),ae(——,—),且加・“=5・irr⑴求m+n；ui(2)设向量加与77的夹角为,求tan(Q+〃)的值.r3丄【变式1】已知向量a=(sinx,—),b=(cosx,-l)⑴当a//bi寸，aR2cos2x-sin2x的值;111兀⑵求/(x)=(a+b)-b在——,0上的值域.VLcmV【变式2】若向量a=(V3

3、,cos2x+—),b=(sin2兀,2).2TTVV(1)当xw[0,—]吋Q・b的最大值为6,求〃2的值；2⑵设fx)=a-b,.SxgR时，求/(x)的最小值及对应的x的取值集合.11例3、己知a,b,c为△/BC的三个内角4B,C的对边，向量加=(2sinB,2一coslB),r.JTRu/Vr-n=(2sin2(—+—),-1),m丄"，a=』3,b=42(1)求角B的大小;(2)求c的值.【变式】在ABC中，角3为锐角，已知内角/、B、C所对的边分别为q、b、c,向量加=(2sin(/+C),巧),〃=cos25

4、,2cos2--1且向量加，〃共线.2丿(1)求角〃的大小；(2)如果b=l,且Smbc=——，求Q+c的值.2二、三角与数列的交汇数列与三角函数的交汇问题相对较少，但如果解题中条件使用得当，往往可以事半功倍.如：等比中项或等差中项性质的应用，三角形三内角B,C成等差数列，则B=^；三角形三边⑺b,c成等比数列,则BG(0,誓]等.例4、设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且o,b,c成等比数列，则角B的取值范围是.【变式】在厶小，三内角力，B,C成等差数列，b=6,则的外接圆半径为.例5、N4BC的内角C所对的边

5、分别为4,b,c.(1)若a,b,c成等差数列，证明：sin/+sinC=2siri(/+C)；⑵若a,b,c成等比数列，求cosB的最小值.【变式】在MBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列⑴若b=20=2,求ABC的面积⑵若sin力,sinsinC成等比数列，试判断ABC的形状三、三角与其他知识点的交汇例7、在平面直角坐标系xO尹中，以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为=—,曲线C的参数方程为F=l+cosa,(。为参数，13丿2[y=sina(1)写岀直线/的直角坐

6、标方程；⑵求直线Z与曲线C的交点的直角坐标.22例8、已知椭圆C：二+乙二1与x正半轴、y正半轴的交点分别为力』，动点P是椭圆上任一点，求PAB169面积的最大值.例9、已知：复数Z=bcosC+(Q+c),,z2=(2a-c)cosB+4z，且右=知，其屮3、C为的内角，a>bc为角力、B、C所对的边.(1)求角〃的大小；⑵若b=2近,求△力BC的面积.总体来看，三角函数可能交汇的知识点众多，相应的考点、解题思想方法也就千变万化，我们在解决这类问题时，既要考虑三角函数方面的方法，也要关注其他知识点的思想，有时候两者结合起来还可

7、能出现一些巧妙的思路，如数形结合、参数思想等，这对于我们解决进一步问题都将会有很好的启迪.【迁移运用】1.【河北省冀州中学2017届高三(复习班)上学期笫二次阶段考试数学(理)试题】已知向量a=(sin(6Z+—),1),b=(4,4cos6r-a/3),若五丄b,则sin(^z+—)=・632.【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，2】已知向量方=(l,3)/=(sina,cosa)且方//庆则tana-.3.【2016届黑龙江省牡丹江市一中高三10月月考】若0

8、16届江西省南昌二中高三上学期第一次考试】已知函数(其中常数0：八)，若存在X]Gn1,X26n—I,L»I・’使得广(西)一,则G的取值范围为・TT_5-[2016届河北省衡水冀州中学高三上第二次月考】设0