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《问题5.6数列中探索性问题-突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而只给学生提供了创新思维的空问，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题.现将这三类问题的解法总结如下，供同学们学习时参考.题型一：条件探索性问题对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件.另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此,直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答.【例1】［2016届江苏省扬州屮学高三12月月考】已知数列仏”
2、｝为等差数列，坷=2,｛%｝的前〃和为S”，数列｛化｝为等比数列，且⑷S+a2b2+ad+…+anbn=（/7一1）•2,,+2+4对任意的neW恒成立.（I）求数列｛a”｝、｛btl｝的通项公式；（II）是否存在非零整数兄，使不等式2（1-丄）（1-丄）……（1-丄）cos色也对一切朋2都成勺°”2立？若存在，求出2的值；若不存在，说明理由.（III）各项均为正整数的无穷等差数列｛q｝,满足仏二知加，且存在正整数k,使J%心成等比数列，若数列｛c”｝的公差为d,求d的所有可能取值之和.【分析】（I）因为a｛b｝+a2b2+a3Z>3+•••+anb
3、n=（«-1）•2n+2+4对任意的neN*恒成立,所以取/?=1,2,3,又知｛%｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，设出首项，公差，公比解方程组即可；（II））由碣=2川，得cos他£=cos（/?+l）龙=（一1严，设b=J，则不等式等价于2w111a——xi——）-（i——）A+iqa2Q”（-ir+,A<^,问题转化为求乞的最小值，因仇>0,利用如=/2（花1）〉1知仇单调递增，求bnyJ2n+1yJ2n+3化的最小值，再根据（―1）塚2<化求解;（III）特殊情况〃=0吋，成立，当d>0时，匕9二q+38d=2014=q=2014-38〃，
4、q=+伙一39)d=2014+伙一39)d,由等比中项知C39=CCk'化简得一伙一39)/+53伙_77)〃=0=＞伙一39)〃二53伙一77),整理得:；53x38“.1£=39+gN,由彳53—d[c.=2014-38r/=38(53-6/)>()=>53-1/>()1,所以53>53—d>0,根据d>0二故53—d=l，2」9,从而d=52,51,34,所以公差d的所有可能取值之和为137•53—cl【解析】(I)法1：设数列｛色｝的公差为〃，数列｛仇｝的公比为g.因为a、b+a2b2+a3b3+…+anbn=(/?-!)•2n+2+4(
5、/7gN*)令〃=1,2,3.分别得afy=4,+a2b2=20,afy+a2b2+a3b3=68,又aA=2｛(I；驚二8ij7=°，q=2,b、=2所以<必2=16即也=482得1=~3或02=2,经检验d=2、q=2符合题意，d」,q=6不合题意，舍去・A[q2=23冷=6凹所以q”=2n,bn=2".法2：因为atby4-a2b2+ayb34!-n°w+2''、①对任意的a?g?t*恒成立则a,bx+a2b2+a3b3—+二“.代-,一宀*°w+1丄”(h>?)②①一②得a„bn=n2叫、小,又a血一人，也符合上式,所以①九“严亠小'由于｛《
6、?｝为等差数列，令Q〃=如+»则仇=，kn+b因为｛亿｝为等比数列，则厶二2讪-D+b—(为常数)，bn_｛(/?一l)(b?+b)即(qk-2k)n2+(bq-kq-2b+2k)n-qb=0对于GN*恒成立,qk-2k=0:「bq-kq-2b+2k=0,所以q=2,b=0.-qb=0又坷=2,所以k=2,故an=2n,hn=T.zjjr（II）由an=2n,得cos二cos（〃+1）龙二（一1）"刊，2设bn=!,则不等式等价丁（一i）”+qv瓦.（1--）（1-丄）…（1-丄）J。”+1aia2J・・•仇＞0,且字二/「"：¥）fl，：・m，数列
7、｛®｝单调递增bny/2n+Z2n+3假设存在这样的实数2,使得不等式（-1）曲2＜仇对一切HEN：*都成立，则①当和为奇数时，得Qv（化）丽二勺二迹；即唇a15oR②当〃为偶数时,得一2＜（^）^=62=—1（久R°综上，Ag一巴2,佟1,由2是非零整数，可知存在A=±l满足条件.153/（III）易知d二0,成立.当d＞0时，c39=Cj+38〃=2014=＞（?!=2014-38〃，ck=C39+(k-39)d=2014+伙-39)d,4=qc,=>(2014-38d)[2014+伙一39)〃]=20142,=>38(53-J)[2014+(
8、A-39)J]=2014x2014,=>(53-〃)[2014+伙-39)町=53x2014,=>—伙—39
