问题3.4与向量、数列等相结合的三角问题（原卷版）

《问题3.4与向量、数列等相结合的三角问题（原卷版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、2017阳爲三就醪烤越一凉钱橢品问题U!:与向量、数列等相结合的三角问题在知识点的交汇处命题,是当前高考的热点，三角函数即是基本的函数，也是解决数学问题的有效工具，在代数与几何中有着广泛的应用.本文拟从其中较为多见的与向量、数列等相结合的三角问题说起一、三角与向量的交汇现行高屮数学教材中，向量是继函数之后的一条主线，贯穿整个高中数学教学，也在各种问题的解决屮起着广泛的作用.而向暈与三角知识的交汇，通常题目以三角函数为主体,但条件中涉及一些向量知识，如向量的坐标中包含三角表达式，然后给出向量之间的平行、垂直关系,或者用向量的数量积表示函数等等，这种情况在当前的试题中还很常见.【例1][2

2、017辽宁盘锦市高三11月月考】已知△/EC的面枳S满足2-V3

3、m+2n

4、的取值范围;(2)求函数/、(&)=sin(0+^)—4jJsin&cos&+cos(&—£)—2的最大值.44【分析】(1)rhC知数暈积可得abcos&=2,代入S二丄”sin&,可得tan&w匕一馆,",「八!->-•■，-、IaII■Zr-»1Ja八、、小1---■--…2'—一2从而求出&的范围，再由向量模的公式可得m+2n=5-4sin2/从而求得答案；(2)化一4V3sin0cos0+co

5、sI4丿<4丿简函数/(&)=sin一2,令/=sin0+cos&，然后利用配方法求得函数/(&)的最人值.【解析】(1)由為・d=2,ZACB=e,得abcos&=2,S=*bsin0=tan&w〔2一所以tan&岂2-馆,1］而％(0,龙),所^-

6、m

7、=sin22A+cos22A=1J/71=1,m-n=sin2AcosZB+cos2Asin2B=sin(2力+25)=sin(2^一2C)=-sin2C=-sin20

8、m+2/712=

9、in

10、2+4m•n+41〃f=5—4sin2&,因为兰S&S

11、兰，所以-<2&5兰，124624—4sin2处[1,3],所以

12、m-2^[l,V3].(2)f(&)=sin(^+—)-4^sin&cos&+cos(&-=)-2=0+cos&)-4^sincos6-2.44设f=sin&+cos6=a/2sin(&+—)}4•Q丫因为召G?所以巽&+手灵>124342所以如半=迈]“血-4曲-号-2=-2击》+毎+2历-2：对称轴r=誓呼“]所叹当r=芈时斗=-：【点评】(1)平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析儿何等知识结合.当平面向量给出的形式中含有未知数时，市向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.

13、在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角惭数、数列的综合问题.(2)求与三角函数冇关的最值常用方法冇以下儿种：®^y=asin2x-}-bsmx+c^^利用配方法求最值；②形如y=asinx^b的nJ化为sin兀=0(刃的形式性求最值;csinx+d③y=6/sinx+/?cosx型，可化为y=Ja，+b?sin(x+0)求最值；④形如y=<7(sinx±cosx)+/?sinxcosx+cnJsinx±cos=t,换元后利用配方法求最值•木题是利用方法①的思路解答的.(x【小试牛刀】【2017湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】已知向量加=cos-,-1I2丿•X9sin—,co

14、s"22>，函数/(x)=m-n+(I)若XW-,7T，求/(x)的最小值及对应的X的值;(II)若兀w0,

15、,/(X)=律，求sinX的值.UUU1UULuuu1【例2】在厶ABC屮,角A,B,C的对边分别是20aBC+15hCA+12cAB=0,贝ij/ABC最小角的正弦值等于（）43,3V7A,—B.—C.—D.4454【分析】三角形中的向量问题，通常先选基底，然后利用向量相等的充要条件转化为相应的数量关系即可.ULIUUliUUU1【解析】・・・20aBC+15bCA+12cAB=0,UUU1UUUUULUUU1・・・20a(AC一/B)+15bCA+12cAB=0,uui

16、uuuu1•••(20a—15b)AC+(12c一20a)AB=0,UUIUuuuVAC与彳B不共线20^7-15/7=0b=la=>2c-20a=05c=—a4A/ABC最小角为角厶1622522f2.门2几2CTCT_CTAa所以cos/二——二——二一，・・・sin/f=2,故选C.2阮2/x笃彳5534【答案】C【点评】本题屮，三角形三边所在的向量两两不共线，当化为两个不共线向量Z和为零向量,则隐藏着他们的“系数同时为0“的条件，从