多元函数微分学的几何应用(III)

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1、多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线一、空间曲线的切线与法平面平面曲线的切线与法线：已知光滑平面曲线切线方程：法线方程：若平面光滑曲线为切线方程：法线方程：空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限位置过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面曲线方程为参数方程的情形割线上述方程之分母同除以令切线方程：说明：1）此处要求不全为0，如个别为0，则理解为分子为0定义：切线的方向向量：称为曲线的切向量也是法平面的法向量故法平面的方程为2）若引进向量函数3）平面曲线方程切线方程：法线方程：4）平面曲线方程切线方程：法线方程：4）与都是曲线C的割线的

2、方向矢量例1.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为例2、求圆柱螺旋线求函数曲线为一般式的情况也可表示为：例3、求曲线二、曲面的切平面与法线法向量与光滑曲面定义：设光滑曲面即是法向量连续变动的曲面，若S分为有限多片，每片为光滑曲面，则称S为分片光滑曲面切平面与法线定义：设说明：法线方程为：（2）曲面上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上，此平面为过点M的切平面梯度的几何意义：证明：设曲线Γ的方程为由曲线Γ的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上，此平面即为切平面函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称

3、为函数f的等值线.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数例4、求球面例5、确定正数σ使曲面练习：曲线.(1)在点函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量