数值计算方法-第9章-常微分方程数值解

《数值计算方法-第9章-常微分方程数值解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第9章常微分方程数值解法1很多实际问题往往归结为一组微分方程,但它们的解析解很难得到,往往采用数值方法得到近似解.本章主要讨论常微分方程(组)初值问题的数值解法.本章的目的概述问题的提法常微分方程初值问题的提法假设连续且关于y满足李谱希兹(Lipschitz)条件:L为给定的常数.根据常微分方程理论,上面的方程一定存在唯一的连续可微解.求方程的解y=y(x).…………(1)2复旦大学力学与工程科学系边值问题的适定性在许多实际问题中,是由观测得到的,存在一定的误差.如果它们的误差是微小的,那么能否保证解的误差也是微小的.定义:假设初值问题(1)有唯一解.如果存在正常数,使得对任何,当以

2、及摄动的初值问题:有唯一解z(x),并且满足:则称初值问题(1)是适定的.定理:若连续,且关于y满足Lipschitz条件,则初值问题(1)是适定的.3复旦大学力学与工程科学系离散变量法及离散误差离散变量法在若干个离散点:a=x0

3、近似解:也可用其它格式的差商代替导数.4复旦大学力学与工程科学系用数值积分方法用左端点的矩形公式计算积分两端积分与差商近似的公式相同得y(xn+1)的近似值yn+1用梯形公式计算积分用yn近似y(xn),yn+1近似y(xn+1),得梯形方法5复旦大学力学与工程科学系用Talor展开近似的方法用y(xn)的近似值yn代入上式,可得y(xn+1)的近似值yn+1:上面三种方法都能导出常微分方程数值解的公式,其中Talor展开方法还可以用来估计截断误差,所以推导时都用该方法.与差商近似的公式相同记为令x=xn,则若取p=1,得局部截断误差或简称截断误差6复旦大学力学与工程科学系一.欧拉(E

4、uler)方法Euler方法的各种形式Euler方法称为Euler方法近似解是通过(x0,y0)的一条折线,每个折线段的方向与左端点处f(x)的切线方向一致.故Euler方法又称为Euler折线法.数值解Euler方法的几何解释P0P1P2P3P4PnOx0x1x2x3x4xnxyEuler方法是显式的,可直接递推求解.7复旦大学力学与工程科学系向后Euler方法向后Euler方法这是隐式公式,一般用迭代法求解:若用向后差商代替导数,即:用y(xn)的近似值yn代入上式,可得y(xn+1)的近似值yn+1:中心Euler方法若用中心差商代替导数,即:中点Euler方法因为要用到前面两步

5、的结果yn-1,yn,故又称为Euler两步公式.8复旦大学力学与工程科学系Euler方法的算法描述1.输入a,b,h,f(x,y),初值y0;2.n0,xa,yy0;3.输出n,(x,y);4.nn+1,yy+h·f(x,y);5.xx+h;若x<=b,转3;6.停机.取步长h=0.1;Euler方法算例通解:初始条件精确解:计算结果如下页.精确解的曲线图9复旦大学力学与工程科学系Euler方法算例(结果)nxnyny(xn)y(xn)-yn01.000011.10.2718280.3459200.07409221.20.6847560.8666430.18188731.

6、31.2769781.6072150.33023741.42.0935472.6203600.52681251.53.1874453.9676660.78022161.64.6208185.7209621.10014371.76.4663967.9638731.49747781.88.80912010.7936251.98450591.911.74799714.3230812.575085102.015.39823618.6830973.284861从结果可以看出:1)当步长不太小时,Euler方法的精确度不高;2)步长确定时,随着步数增多,误差越来越大.误差越来越大10复旦大学力学与

7、工程科学系Euler方法的误差估计单步法的一般形式Euler方法及向后Euler方法都属于单步法.为单步法(1)式的局部截断误差,简称截断误差.如果求yn+1时只用到前面一步的结果yn,则称这类方法为单步法.其一般形式为:……………….(1)其中函数与微分方程右端项有关.若问题的精确解为则称如果中不含,则(1)式为显式的(如Euler方法),否则称为隐式的(如向后Euler方法).误差的定义定义9.1局部截断误差用精确的y(xn),y(xn+1