《曲面方程及其方程》PPT课件

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1、第五节一、曲面方程的概念二、几种常见的曲面及其方程曲面及其方程第七章一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.引例显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解设轨迹上的动点为轨迹方程.1.定义如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何

2、中被看成是点的几何轨迹．曲面的实例：例1故所求方程为方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹表示上(下)球面.求动点到定点例2解配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).2.两个基本问题以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程为二、几种特殊的曲面及其方程2.球面3

3、.旋转曲面1.平面旋转曲面(1)定义一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．如图，代入转轴为坐标轴的旋转曲面方程的特征：xyzo得旋转曲面的方程：由此可见：绕z轴旋转，z坐标不动，将绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点：出现某两变量的平方和.(3)常见的旋转曲面①圆柱面：yzoxo②圆锥面直线L绕另一条与其相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点,叫圆锥面的半顶角.两直线的夹角试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程．(0<<绕z轴旋转一周所得的圆锥面方程：

4、xyzo双叶双曲面单叶双曲面绕z轴旋转而成的曲面：zyxozyxoo③旋转双曲面双叶双曲面单叶双曲面解例3过点M作垂直于z轴的平面，它与所给直线L的交点为故所求旋转曲面方程为:旋转单叶双曲面dPL注一般地，旋转单叶双曲面还可成是由直线或绕z轴旋转而成.因而旋转单叶双曲面又称为直纹面.xyzO④旋转椭球面绕y轴旋转而成的曲面：旋转椭球面⑤旋转抛物面绕z轴旋转而成的曲面：——旋转抛物面xzyo(1)定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线.4.柱面xyzo注柱面的准线不惟一

5、.o准线C准线C'母线L(2)母线平行于坐标轴的柱面方程的特征方程中缺少一个变量(该坐标轴的变量)如：表示母线//z轴的柱面.事实上，过点M作垂直于xoy面的垂线，则此垂线与C的交点M1(x,y,0)的坐标必满足：反之，不在上的点M，其在xoy面上的投影点M1不在C上，从而其坐标不满足该方程.xyzoo准线C：母线L曲面•M•M1类似地，表示母线//x轴的柱面.表示母线//y轴的柱面.小结：（其他类推）常见的二次柱面①椭圆柱面母线//轴xyzoo②双曲柱面母线//轴xyzoo③抛物柱面母线//轴特殊柱面：平面xyzoxyzo内容小结1.空间曲面三元方程2

6、.球面3.旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:4.柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.(旋转曲面的概念及求法).(母线、准线).1.指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？思考题解平面解析几何中空间解析几何中斜率为1的直线方程2.直线绕z轴旋转一周,求此旋转转曲面的方程.解在L上任取一点设M(x,y,z)为M0绕z轴旋转轨迹上任一点,则有旋转曲面方程将y0=z代入第二方程，得备用题例1-1解根据题意有所求方程为方程的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．解例2-1