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1、四、二次曲面第三节曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离化简得即引例解设轨迹上的动点为的点的轨迹方程.说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.轨迹方程定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,曲面研究的两
2、个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).故所求方程为例1求动点到定点轨迹方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解设轨迹上动点为即依题意距离为R的表示上(下)球面.例2研究方程解配方得此方程表示:一般地如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.表示怎样的曲面.半径为的球面.球心为其图形可能是一个球面,或点,或虚轨迹.定义2一条平面曲线二、旋转曲面绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:建立yoz面上曲线
3、C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,在曲面上任取一点给定yoz面上曲线C:则有此时有该点转到思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？例3试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例4.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解绕x轴旋转所成曲面方程为绕z轴旋转所成曲面方程为这两种曲面都叫做旋转双曲面.三、柱面引例分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所
4、形成的曲面故在空间过此点作平行z轴的直线l,称为圆柱面.对任意z,表示圆柱面.在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,定义3.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线l为xoy面上的抛物线.C叫做准线,l叫做母线.表示母线平行于z轴的平面.(且z轴在平面上)表示母线平行于z轴的椭圆柱面.一般地,在三维空间二元方程表示柱面.方程母线准线平行于z轴在xoy面x轴yoz面xoz面y轴图形四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍
5、.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与的交线为椭圆：同样及的截痕也为椭圆.(3)截痕:(4)当a＝b时为旋转椭球面;当a＝b＝c时为球面：由看作椭圆绕轴旋转而成．或2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q同号)特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.zxyoxyzo(2)双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q同号)xyzo3.双曲面(1)单叶双曲面(2)双叶双曲面注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:单叶双曲面双叶双曲面
6、4.椭圆锥面内容小结1.空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.2.二次曲面三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面双曲面:单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面:斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴的平面思考题1.指出下列方程的图形:2.P.318题3,10题10答案:在xoy面上作业P.318习题7－32;4;7;8(1),(5);11
