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时间：2019-07-04
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1、1第四节定积分的几何应用一、平面图形的面积二、已知平行截面面积函数的立体体积2求平面图形面积的步骤：(4)做定积分：(1)画出草图并求交点；一.平面图形的面积(3)确定被积函数；++_及积分区间；(2)选取积分变量(过点作垂直于轴的直线穿区域，是一进一出)32、4(过点作垂直于轴的直线穿区域，是一进一出)选取积分变量及积分区间：54、例1.计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解：由得交点(1,1)17例2.解：8则9（显然,由于被积函数不是分段定义的函数,比较容易计算.）10解：如右图所示,先求二曲线的交点的横坐标：例3.求曲线与
2、在与之间所围成的平面图形的面积.二.已知平行截面面积函数的立体体积则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,设所给立体垂直于轴的截面面积为,特别地，当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段有绕轴旋转一周围成的立体体积时,例4.计算由椭圆所围图形绕轴旋转而成的椭球体的体积.解：利用直角坐标方程则(利用对称性)例5.一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解：如图所示取坐标系,则圆的方程为其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.垂直于轴的截面是直角三角形,思考：可否选择作积分变量?此时截
3、面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示：例6.计算由曲面所围立体(椭球体)它的面积为因此椭球体体积为的体积.解：垂直轴的截面是椭圆特别当时就是球体体积.试用定积分求圆绕轴上半圆为下提示：方法1.利用对称性旋转而成的环体体积.思考与练习方法2.用柱壳法右半圆为左提示：
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