不可压粘性流体力学初值问题的拟变分原理及其广义变分原理

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1、万方数据第29卷第3期2011年6月空气动力学学报ACTAAERODYNAMICASINICAV01．29，No．3Jun．，2011文章编号：0258-1825(2011)03-0317-08不可压粘性流体力学初值问题的拟变分原理及其广义变分原理郝名望1，梁立孚2，叶正寅1(1．西北工业大学翼型叶栅卒气动力学闺防科技重点实验室，陕西西安710072；2．哈尔滨工程大学航天工程系，黑龙江哈尔滨150001)摘要：利用Laplace变换将不可压粘性流体动力学的方程与边界条件变换到象空问上，同时也就把初值条件引入到象空间的方程内。然后在象空间利用变积方法建立不可压粘性流体动力学的拟变分原理和广义拟

2、变分原理，再将它们拉氏反演到原空间内，即得时间域内的不可压粘性流体动力学的变分原理及其广义变分原理。最后用～个具体的例子对原理的应用进行了说明。关键词：拟变分原理；粘性流体；变积运算；初值问题；Laplace变换中图分类号：0302，033，0357．1文献标识码：A0引言有两种解决力学问题的方法，“一种方法是根据平衡或运动规律的直接方法；另一种方法是运用极大或极小值的公式，通过求极大值和极小值的方法求出这些公式的解”(Euler)⋯。第一种方法是用各种微分方程(组)以及初边值条件来描述规律，第二种方法指的是用变分原理来描述规律。利用变分原理来描述问题有很多优点：数学形式简洁紧凑，简化边界条件

3、的数值处理，可以利用变域变分解决变动区域的问题¨‘等。流体力学变分原理的研究由来已久：早在1849年Kelvin就建立了不可压势流的极值原理¨1，后来Helm—hohz又于1868建立了缓变粘性流动的最小能量耗散原理¨1。20世纪30年代Batemar又提出了Batemar原理卜⋯，在20世纪50～60年代，Herivel借助固体力学中的Hamilton原理建立流体力学变分原理旧1。但是Heri．vel的变分原理只适合一类特殊的流体，为了使其对于粘性流体也适用，则需要添加三个林家翘约束方程¨j。对于林家翘约束的实质可参看文献[8-9]。20世纪80年代钱伟长应用权余法和拉氏乘子法，推得粘性流体

4、变分原理110，刘高联提出了建立流体力学变分原理的系统性方法【-“。在钱伟长与刘高联的基础上何吉欢提出了一种建立广义变分原理的新方法——半反推法∽J，并利用该方法已建立了1．D粘性流体的变分原理¨23和2一D无粘流体的变分原理【1“。该方法不仅可以应用于流体力学⋯-16]，也可以应用于其它领域¨7-19]。由于三维粘性流体力学的控制方程(N—S方程)含有对流项以及非线性项，时至今日仍然没有建立其精确的变分原理。至于N—s方程是否存在变分原理的I、ⅡJ题，一直到现在还没有统一的观点，读者町以参看文献[3]的论述。众所周知，在固体力学领域，在20世纪60年代就出现了解决初值问题的卷积型的Gurti

5、n变分原理。加1，作者受到它的启发，在借鉴前人成果陋1‘拍1的基础上，将在本文建立了三维不可压缩粘性流体力学的Gurtin型的变分原理及其广义变分原理。1不可压粘性流体力学的控制方程在Euler描述体系下，不可压粘性流体力学的控制方程为：连续方程：／／,鼬=0(1)平衡方程：pDui／Dt=西+％。f(2)，，本构关系：矿F=一声口一知lLk,k(sⅡ+It(ⅡiJ+叶．‘)(3)·收稿17t期：2010-04-28：修订日期：2010—11-26基金项目：国家自然科学基金(10802067)作者简介：郝名望(1981一)，男，江苏淮安人，博十，研究方向：流同耦合力学及力学变分原理．E—mai

6、l：mwha081@yahoo．COIII．cn万方数据318空气动力学学报第29卷边界条件：在边界S，：％n,-=t‘(4)在边界So毗=i；(5)初始条件：毗t=O=“i(0)(6)其中，D(·)／Dt=0(·)／函+U。(·)"为书写简洁以及推导方便起见，上面的方程式是在Cartesian坐标系下采用张量记号书写的，指标遵循求和约定。P是密度，为一常数；地为速度；Z为单位质量所受的体积力；盯i为应力张量；p为粘性系数；岛为Kronecker符号；^为单位外法向矢量；p为平均压强；t；为应力边界处的已知应力；瓦i为速度边界处的已知速度，u；(0)是初始时刻的速度分布。对式(1)一式(5)进

7、行Laplace变换，得象空间中的控制方程：连续方程：以．。=0(7)平衡方程：pF；+∑鲥=pSU；-pui(o)+p畔(8)，'、本构关系：∑g=一耶自一知以，。岛+Ix(配J+％，；)(9)边界条件：在边界S，：∑口’=正(10)在边界s。：Ui=Ui(11)其中：Hi圭Ui，6rF圭∑∥P圭PZ圭Fi，ti圭t，驴圭Je—uI峨，‘dt，S为Laplace变换中的复参数。矗2不可压粘性流体