广义变分原理及其应用.ppt

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1、1.广义变分原理及其应用1.1虚力原理与余能原理1.2泛函的变换格式1.3含可选参数的广义变分原理1.4基于Reissner原理的混合元1.5放松约束的变分原理及杂交元2000.31哈尔滨建筑大学王焕定教授制作1.1虚力原理与余能原理1.1.1虚位移原理和势能原理（复习）1）虚位移原理的虚功方程——矩阵表达δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+∫Sσ[Fs]Tδ[u]dS=δWi=∫V[σ]Tδ[ε]dV体积力虚功表面力虚功虚变形功δWe=∫VFbiδuidV+∫SσFsiδuidS=δWi=∫VσijδεijdV虚功方

2、程——张量表达2000.32哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2）势能原理的数学表达Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS=min总势能应变能外力势能1.1.2虚力原理1）虚力原理的表述给定位移状态协调的充分必要条件为：对一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成立（矩阵）∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dS虚反力功表面给定位移虚余变形功2000.33哈尔滨建筑大学王焕定教授制作虚功方程——张量表达∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS2)

3、必要性证明εij=1/2(ui,j+uj,i)=D-1ijklσklV：δσij,j=0Sσ：δσijnj=0已知条件：[ε]=[A]T[u]=[D]-1[σ]V：δ[σ]=[0]Sσ：[L]δ[σ]=[0]需证明的是：∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS或张量表达形式已知条件：2000.34哈尔滨建筑大学王焕定教授制作∫V([A][u])Tδ[σ]dV=∫S([L]δ[σ])T[u]dS-∫V([A]δ[σ])T[u]dV1/2∫V(ui,j+uj,i)δσijdV=∫SδσijnjuidS-∫Vδσ

4、ij,juidV[证明]：利用格林公式或张量形式格林公式考虑到虚应力的已知自平衡条件，立即可得∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS必要性证毕。2000.35哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2)充分性证明V：δσij,j=0Sσ：δσijnj=0已知条件：[ε]=[D]-1[σ]需证明的是：应变εij是协调的。或张量表达形式εij=D-1ijklσkl∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dSV：[A]δ[σ]=[0]Sσ：[L]δ[σ

5、]=[0][证明]：因为V：[A]δ[σ]=[0]，所以对任意[λ]∫V([A]δ[σ])T[λ]dV=[0]利用格林公式和已知条件可得2000.36哈尔滨建筑大学王焕定教授制作设体内三个虚剪应力任意、独立，另三个正应力满足[A]δ[σ]=[0]。又因为[λ]完全任意，因此可设∫V([D]-1[σ]-[A]T[λ])Tδ[σ]dV+∫Su([L]δ[σ])T([λ]-[u]0)dS=0(a)在此条件下，式(a)由于虚应力的任意、独立性可得V:[D]-1[σ]-[A]T[λ]=[0]Su：[λ]-[u]0=[0]充分性证

6、毕。2000.37哈尔滨建筑大学王焕定教授制作1.1.3余能原理和由虚位移原理导出势能原理一样，由虚力原理∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dS可得δ(1/2∫V[ε]T[σ]dV-∫Su([L][σ])T[u]0dS)=0记VC如下所示，并称为变形体的总余能VC=1/2∫V[ε]T[σ]dV-∫Su([L][σ])T[u]0dS则由δVC=0可得在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态为真实应力的充要条件是，变形体的总余能取驻值。对线弹性体，此驻值为最小值。余能原理2000.38哈尔滨建筑大学

7、王焕定教授制作余能原理等价于协调，表达为VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS=min利用格林公式，立即可证明Ve+VC=01.2泛函的变换格式（龙驭球提出）简单来说，势能原理等价平衡，表达为Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS=min1.2.1一些预备知识1)变量的分类2000.39哈尔滨建筑大学王焕定教授制作除泛函变量外，泛函中的其他变量称为泛函的增广变量。在余能泛函VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS中σij是泛函变量，其他是

8、增广变量。泛函中所显含的自变函数称为泛函的泛函变量。在势能泛函Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS中ui是泛函变量，其他是增广变量。2000.310哈尔滨建筑大学王焕定教授制作泛函中泛函变量事先所需满足的条件，称为泛函的强制条件。在余能泛函中σij所需满足的平衡条件（内部和边界）即