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《弹性理论中广义变分原理的研究及其在有限元计算中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、弹性理论中广义变分原理的研究及其在有限元计算中的应用钱伟长清华大学基础部力学教研组,怎样合理地使摘要本文的目的在于说明怎样系统地建立各种广义变分原理用各种广义变分,本文,原理来改进有限元计算的成效为了易于说明间题只局限于弹性理论的各种广义变分原理但其推广并不困难,广,,本文指出义变分原理的泛函可以系统地采用拉格朗日乘子法把一般有条件的变分原理化为无条件日,的变分原理来唯一地决定的拉格朗乘子所代表的物理量可以通过变分求极值或驻值的过程求得,从而,人们经常陷人的象猜谜一样的困境消除了在建立广义变分原理的泛函时本文,也指出我们同样可以用拉格朗日乘子法把一般有多个条件的变分原理化为条件个数较少的变分
2、原理我们称变分条件减少了的变分原理为各级不完全的广义变分原理凡是把全部变分条件都消除,,了的变分原理称为完全的广义变分原理或简称广义变分原理实际上是完全无条件的变分原理。本文建立,,了弹性小位移变形理论中的各级不完全的广义位能原理和各级不完全的广义余能原理包括从最小位能原理和最小余能原理分别导出的最完全的广义变分原理并且证明了这两个弹性力学广,,。‘”,‘,’,义变分原理的泛函是等同的在这些广义变分原理中包括了艰胡海‘’,昌一鸯津久一郎“的广义变分原理本文也建立了弹性大位移变形理论中的位能原理和余能原理,并建立了有关位能余能的各级不完,包括,全的广义变分原理以大位移变形的最小位能和最小余能原
3、理分别导出的弹性力学广义变分原理,这两个弹性力学并且也证明了在大位移变形情况下的广义变分原理也是等同的,还补充了三个本文除了列举广义变分原珍在有限元法上的众所周知的应用外比较重要的应用范围‘一小位移变形弹性理论的最小位能原理和最小余能原理,本文只限于考虑弹性静力学问题当然不难推广至弹性动力学和有关的塑性力学问题设在幻,,“、,,,卡氏坐标系￡,中弹性体内各点位移为￡应变和应力分别为,,。,,,,应变与位移服从下小位移变形关系、几了、、‘卫,产、,万戈“‘,’个“‘,‘、,“,,构,代表对勺的偏导数对于小应变的线性弹性而言最一般的应力应变关系为叮犷户‘,搜亡叱或‘几、了﹄、,声灸口互空、卜,。
4、,,,,,其中称为弹性常数称为劲度系数它们有下列对称性质公花护了互了萝互口众宕了‘,,,‘,‘,,,,,,‘,,,,在弹性体的体积内弹性体的应力,和体积力,’一乙之间满足静力平衡方程,、,,,,,吼在内,,,,在弹性体的边界面上满足相应的边界条件边界表面一般可以分为两部分在上外力,,汤已知在上位移又已知,而口护刀护户““一叭,其中为上的外法线矢量的方向余弦,,从上述诸关系中看到弹性体的平衡问题是一个边界值间题共有个未知数即个应力沂,,,,,,分量个应变分量个位移分量它们通过中个方程求解它们必须满足边界条件式。,,,设砂代表弹性体的应变能密度它是应变分量的函数而且根据应变能密度的定义我们有了,
5、,,萝,,,在小应变的情况下用式中的心代人上式积分求得线性理论的弹性应变能密度才。,一二口亩花了,掩艺,,丙,。同样在小应变条件下我们有余能密度它和应变能密度的关系为‘。划口凌‘汉十沂我们很易证明、,或者通过积分,,刀一一口走一丁二产受艺,于是我们有众所周知的小位移变形线性弹性体的最小位能原理和最小余能原理变分原理小位移变形线性弹性理论的最小位能原理在满足小位移应变关系式和边价和位移。‘,狂‘界位移已知的条件式的所有容许的应变中实际的舜和必使弹性体的总位能了矛一〕‘扩一。一〔,一一一和,,。,,,为最小亦即使式的泛函为最小的必满足平衡方程式和边界外力已知条,。。诚,。,,件式在证明中我们认为
6、式中的户是的简写并利用了应力应变关,,系式或认为式成立证明是众所周知的变分原理小位移变形线性弹性理论的最小余能原理在满足小位移变形的平衡方程’口打,口、必使弹性总余能一式和边界外力已知的条件式的所有容许的应力中实际的应力。了了。,,‘矛『了,·,‘·一。‘一,才行,为最小亦即使式的泛函为最小的必满足边界位移已知的条件在证明中我丙叮,,,们认为式中的户为气湃的简写并利用了应力应变关系式和应变位移关,系式或利用和证明是众所周知的,,不论变分原理或都是有条件的变分原理最小位能原理的条件是式和式最小,余能原理的条件是匀式和式当然在前者我们还利用了应力应变关系或式在后,,,者我们也利用了应力应变关系或
7、式和应变位移关系式其实这些被利用的关系也可以当作是某种形式的条件二小位移弹性理论的完全的广义变分原理和各级不完全的广义变分原理现在让我们采用拉格朗日乘子法把有两组条件式的最小位能原理变分原理化为无条件的广义变分原理产,设耘和为待定的拉格朗日乘子于是根据式导出的无条件的广义变分原理的泛函为。,一、一,一￡一,‘丫一,￡一“了户一‘矛,‘··云￡“‘一一,厂’击卜含针,构,,片都当作独立变量进行变分,,。刀,把勒
