数学物理方法(复旦马永利)chapter10

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1、MethodsofMathematicalPhysics(2013.05)Chapter10Methodsoftravellingwaveandseparablevariables,andeigenvalueproblemYLMa@Phys.FDUChapter10行波法和分离变量法本征值问题上章复习：数理方程的导出与定解问题：泛定方程加上定解条件（例如，初始条件、边界条件、衔接条件、自然条件和周期条件等）。目标：求一个微分方程的解满足确定条件例如初始条件和边界条件等的问题。一般定解问题的分解：Lu

2、f,Lu0,Lu0,Luf,~gg,~0,~,~0,u,u,u0,u0,t0t0t0t0u.u.u0.u0.tt0tt0tt0tt0IIIIII解出问题I、II、III得uuu1,2,,3则一般问题的解为uu1u2u3，求解问题I是基础，问题II可转化为I或III，问题III有多种解法。Abstract：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变换法

3、、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。分离变量法普遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。求解常微分方程：一般先求通解，再用某些定解条件定其参数；求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来确定解（因为含有任意函数）—本征值问题可解决此类问题。一、一维无界空间域的自由振动问题达朗伯公式1．行波法和d’Alembert公式（以无限长弦的自由振动为例）:2uttauxx0x(无界区域),其中(x)和(x)是已知函数。u();xu(),xtt

4、00t222uu2dx2xatC1特征方程：22aa0.解得.于是作代换txdtxatC2xat2，原方程化简为4aU0.解之得Uf1()f2()，这是因为xatuxt(,)U(,),uUUu,UUUU,xxx2222uaUaUu,,aUaUaUaUttt1MethodsofMathematicalPhysics(2013.05)Chapter1

5、0Methodsoftravellingwaveandseparablevariables,andeigenvalueproblemYLMa@Phys.FDU其中f()和f()是分别以,为宗量的任意函数。因此，12u(x,t)f(xat)f(xat)，将之代入初始条件，有12fx()fx()();x121x''afx()afx()()xfx()fx()()dC.12120ax0()x1xC0fx()()d,1x22a02这就确定了f

6、1和f2的函数形式，()x1xCfx()()d0.222ax02(xat)(xat)1xatuxt(,)()d—22axatd’Alembert公式。2．物理意义：在时空点(,)xt波形如fxat()，到了下一时空点1(xxt,t),波形变为如仍形如fx[xat(t)]f[(xat)xat]fxat(),111x则xata沿xˆ之速度,也就是说，tf(xat)是一个沿xˆ轴正方向以速度a传播的1行波；同

7、理，f(xat)是一个沿xˆ轴负方向以2速度a传播的行波。在d’Alembert公式中，第一项表示由初位移激发的行波在t0时的波形为(x)，以后分成相等的两部分，独立地向左右传播，速率均为a.第二项表示由初速度激发的行波，t0时在x处的速度为(x)，在t时刻，它将左右对称地扩展到xat,xat的范围，传播速率也都是a.2MethodsofMathematicalPhysics(2013.05)Chapter10Methodsoftravellingwaveandseparablevar

8、iables,andeigenvalueproblemYLMa@Phys.FDU另外需要说明的是，这里我们没有明确写出边界条件，即u(x,t)0或u(x,t)有界。严格来说，的确应该明确写出无穷远xx的条件。但是，对具体问题而言，这个条件可以由(x)和(x)的具体形式来得到保证。(x)和(x)总是会局限在一个有限的范围内，即，当x增大时，(x)和(x)都会足够快地趋于0.因此，从d’Alembert解就可以看出，在