《笛卡儿与解析几何》的教学设计

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1、《笛卡儿与解析几何》的教学设计教学目标：1.了解解析儿何产生的背景和发展过程。2.了解解析几何的创立对数学发展的重大作用。3.了解伟大的数学家、哲学家笛卡尔对创立解析几何的贡献。4.感受数学家对数学新思想、新方法的大胆尝试、创新的精神。5.经历结合实际问题，体会用代数方法研究图形的几何性质这一思想方法。6.巩固解析儿何这一章书所学的数学知识、思想方法。教学重点、难点：结合实际问题通过解析几何，沟通了数与形、代数与几何的关系。教学方法：学生自学阅读，学生小组探究与老师讲授相结合。教学过程：一.引入解析几何的创立是数学史上具有划时代意义的重大事件。

2、解析几何的一些基本思想，如用坐标确定点的位置，因变量对变量的依赖关系，可以上溯至非常古老的年代。1.1•公元前2000年的巴比伦人已能用数字表示从一点到另一固定点，线或物体的距离，已有原始坐标的思想。1.2.公元前4世纪，屮国战国时代的天文学家石屮夫绘制恒星方位表时已利用了坐标法。1.3•约1350年，法国数学家奥雷姆提出一种坐标几何，用两个坐标确定平面上点的位置，用水平线上的点表示时间，称为经度；而所对应的速度则用纵坐标表示称为纬度，这样用经纬两个坐标就将物体运动情况在图上表示出来，这是从天文、地理坐标向坐标几何学的过渡。二.解析几何的创立2

3、.1.学生阅读教材或回答问题（教材附在教学设计后面）2.1.1）解析几何什么时候诞生的，通过哪一本书的发表创立了解析几何？作者是谁？2.1.2）简单介绍一下笛卡尔。2.1.3）法国数学家笛卡尔对数学的整体看法是什么？2.1.4）他带着什么问题的思考，而促使他打开了近代几何的大门？2.1.5）从数学家笛卡尔身上我们受到了什么启示？22在教科书中，找出与“帕波斯问题”类似的数学问题。（学生小组讨论回答）23运用解析几何的方法，体会“将几何问题代数化一解决代数问题一分析代数结果的几何意义一解决几何问题”这一思想历程。A02.3.1）探究问题1・证明：

4、三角形三条中线交于一点。（上课前已布置为研究性作业，小组讨论，以小组为单位作岀解答）B学牛回答：有两种证明方法。证法一：用平面儿何的知识证明。证法二：不用平几的定理，如何运用解析几何的方法证明？小组派代表做答，指出关键性的思路：i.建立坐标系（几何问题代数化）；ii.大胆设出点的坐标；iii.写出中线BE、CF的方程；iv.求出交点坐标G；v.再求出屮线A0的方程；vi.证明点G的坐标满足AO方程；vii.代数坐标为方程的解一几何点在中线A0上一点G在三条中线上，即三条中线交于一点。（板书）证明：i.以BC所在直线为兀轴，BC中垂线为y轴，建立

5、空间直角坐标系。ii.各点为B(-c,0)、C(c,O)、A(a,b)；0为BC上的中点，AO为中线。设E、F为AB.AC±的中点，贝hE(出上)、F(口上)。2222则，直线BE方程为：加-(a+3c)y+bc=0,直线CF方程为：bx-(a-3c)y-bc=O。解方程组:财:鳥二驚得交点G直线AO方程为bx-ay=0,将G点坐标代入:b~-a'—=033・••点G在直线AO上。・•・三线交于一点Go・・・三角形三条中线交于一点。探究问题1是用代数方法解决儿何问题的一个典型代表，由此同学们思考一下，在所学知识里，有没有类似的问题？或由这一个问

6、题我们还能大胆地提出什么要求？(学生小组讨论后回答)学生冋答：用解析几何法证明三角形三条高线交于一点。学生回答:证明箸譽筹斗ax=—学生回答：由点G坐标］3bx=猜想出Vy=a+(-c)+c已知三角形三个顶点坐标心』)、B(兀2*2)、C(x3,y3),则重心G的坐标为(西+兀+也，刃+力+乃)。2.3.2）实际应用例1・某大桥在涨水时有最大跨度的屮央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现在状况下述可

7、多装1000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下深度，问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？i.学生思考：a）这一实际问题如何用表述?数学语言表达？怎样b）提问学生：如何建立坐标系?c）几何图形抛物线一代数方程怎样表达？d）题目中的跨度、拱桥距船宽船高，怎样用点的坐标表示?ii.老师介绍本题的解题思路，教学上耍求学生了解如何运用解析儿何解决实际问题，拓展视野，并不要求所有学生在目前阶段，能独立解决这一问题。iii・学生：以小组为单位，课后完成解答5。例2・（2004高考数学试题广东卷20）某

8、中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，止东观测点听到该巨响的时间比其他两个晚4$。已知各个观测点到该