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1、阅读与思考-笛卡儿与解析几何课后练习一、填空题1.在△ABC中，若·＋2·＝·，则的值为________．2.(2017·南京学情调研)在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，D在边AB上，＝.若·＝3，则边AC的长是________．3.(2017·苏州期末)已知A，B，C是半径为1的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点(含圆周)，则·＋·＋·的取值范围为________．4.(2017·常州期末)在△ABC中，∠C＝45°，O是△ABC的外心，若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是_______
2、________．5.如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.二、解答题6.(2017·扬州期末)已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足＝＋，求
3、
4、的最小值．7.用解析法证明：若一个四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和，则这个四边形是平行四边形。练习答案1.【解析】如图，建立平面直角坐标系，设A(0，a)，B(b,0)，C(c，0)，所以＝(c，－a)，＝(b，－a)，＝(c－b,0)，＝(－b，a)，＝(－c，a)，＝(b－c
5、,0)，则由·＋2·＝·得b2＋2cb＋2a2－c2＝0，所以b2－2cb＋c2＝(c－b)2＝2(a2＋b2)，所以BC＝AB.由正弦定理得＝＝.2.【解析】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．设∠ABC＝θ，则因为AB＝3，BC＝2，所以C(2,0)，A(3cosθ，3sinθ)．又因为＝，所以D(2cosθ，2sinθ)，故＝(－2cosθ，－2sinθ)，＝(2－2cosθ，－2sinθ)，因此·＝－4cosθ＋4cos2θ＋4sin2θ＝－4cosθ＋4＝3，解得cosθ
6、＝，从而A，由此可得AC＝＝.3.【解析】方法一：在平面直角坐标系xOy中，设A(－1，0)，B(1,0)，C(cosα，sinα)，P(rcosβ，rsinβ)，其中α∈(0，π)，r∈[0,1]，β∈[0,2π).·＋·＋·＝3r2－1－2rcos(β－α)∈[3r2－2r－1,3r2＋2r－1]⊆，当r＝，β＝α时，取得最小值－；当r＝1，β＝π＋α时，取得最大值4.4.【解析】因为C＝，O是△ABC的外心，所以∠AOB＝，＝m＋n，所以C在优弧AB上．建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设半径为1，则A(0,
7、1)，B(1,0)．设C(cosθ，sinθ)，θ∈，代入＝m＋n，可得n＝cosθ，m＝sinθ，则m＋n＝cosθ＋sinθ＝sin.又因为θ＋∈，所以m＋n∈[－，1)．5.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，M(2,1)，D(0,2)，所以＝(2,2)，＝(2,1)，＝(－2,2)．由＝λ＋μ，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以解得所以λ＋μ＝.6.方法一：＝－＝＋－＝.令＝－，则＝(－)
8、，那么
9、
10、＝
11、－
12、，求
13、
14、的最小值，就转化为求
15、－
16、的最小值，根据不等式的知识有
17、－
18、≥
19、
20、
21、－
22、
23、
24、＝
25、
26、
27、－1
28、，而
29、
30、2＝2＝2＝2－·＋2＝×32－×3×3×＋×32＝，即
31、
32、＝，所以
33、－
34、≥＝－1，从而
35、
36、＝
37、－
38、≥－，当且仅当与同向时，取等号．方法二：＝－＝＋－，设－＝，则2＝2＋2－·＝1＋9－×3×3×＝7，
39、
40、＝，所以2＝2＋2＋·＝×1＋7＋×1×cosθ＝＋cosθ，其中θ是，的夹角，由于点P在圆上运动，所以θ∈[0，π]，所以
41、
42、2的最小值为－，所以
43、
44、的最小值为.证明：以BC为x轴，B为坐
45、标原点，建立如图坐标系cABCDadbh即AD//BC,AD=BC所以，四边形ABCD为平行四边形7.AD//BC,AD=BC
