多元函数的微分学

《多元函数的微分学》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、一、计算题81.已知，求.解：同理.82.已知，求.（中等难度）解：由对称性可知：.83.已知，求.（中等难度）解：，.84.已知，求.（中等难度）解：，.85.设，求在点（2，）处的偏导数.（中等难度）解：因为所以86.已知，求.解，.87.已知，求.（中等难度）.88.已知，求18.（中等难度）解：由于.89.已知，求.（高难度）解：当时=当时因此.同理得.90.已知，求.（中等难度）解；，，.91.已知，求.解92.已知，求，.（中等难度）解：由于于是，18.93.已知，求，.（中等难度）解：由于于是，.94.已知，求，.（中

2、等难度）解：由于于是95.已知，求，.（中等难度）解：由于于是.96.已知，求，.（中等难度）解：由于于是，.97.已知，求，.（中等难度）解：由于，于是1898.已知.（中等难度）解：99.设有二阶偏导数.解记，有100.求函数的全微分.解因为且它们是连续的，故由全微分公式得.101.求函数的全微分.解：因为且它们是连续的，故由全微分公式得.102.求函数的全微分.解：因为且它们是连续的，故由全微分公式得.103.求函数的全微分.解：因为18且它们是连续的，故由全微分公式得.104.求函数的全微分.解：因为且它们是连续的，故由全微

3、分公式得105.求函数的全微分（中等难度）解，，且它们连续，故由全微分公式得.106.设解：注：此题也用求出.即求全微分的一般方法：一种是先求，再写出；另一种是直接利用全微分的四则运算法则及微分形式的不变性来求全微分.107.已知，求.（中等难度）解：因为故108.已知，求.（中等难度）18解：设而109.设，而，求.（中等难度）解：110.设，而，求.解：111.设，而，求.解：==112.设，而，求.解：=.113.设，而，求.（中等难度）解：=+=.114.求函数18的一阶偏导数.（高难度）解令，则.由于而.应用复合函数求偏导

4、数的公式得=；同理可得=.115.求复合函数的一阶偏导数，其中具有连续的一阶偏导数.（高难度）解：.116.求复合函数的二阶偏导数，其中具有连续的二阶偏导数.（高难度）解，117.求的一阶偏导数.（中等难度）解:设,则118.设18.求，.（中等难度）解:119.解：120.已知.解：121.已知解：122.求由方程所确定的隐函数的一阶偏导数（中等难度）解：令，则，故123.求由所确定的函数在点（1，2，－1）的偏导数.（中等难度）解设，则，，，所以.18124．所确定的函数，求.（中等难度）解：令，则于是，，125.所确定的函数，

5、求解：.二、解答题126.求函数的极值.解:解方程组,得驻点.因为因此，，故（2，-2）为极值点，又由于，所以（2，-2）为极大值点，其极大值为.127.求函数的极值.解:解方程组,得驻点.因为因此，，故（，-1）为极值点，又由于，所以（，-1）为极小值点，其极小值为.128求函数的极值.（中等难度）18解：由得驻点（5，2）故点（5，2）为的极小值点，极小值（5，2）=30129.求函数的极值.解：由得驻点（1，1），，在点（1，1）处无极值.130.求函数的极值.（中等难度）解求导得，解方程组得驻点.由于，故.所以当时，取得极小

6、值.131.求在约束条件下的极值.（中等难度）解约束条件可写成作拉格朗日函数解方程组得驻点，，根据所给函数的几何特征可知点（，）为函数的极小值点，极小值为.132.求在约束条件下的极值.（中等难度）解约束条件可写成作拉格朗日函数解方程组18得驻点，，根据可知点（，）为函数的极大值点，极大值为.133.求二元函数在由直线轴和轴所围成的闭区域上的极值，最大值与最小值.（高难度）解由极值存在的必要条件解方程组得驻点（2，1），又，因此在点（2，1）处取得极大值4.所以点（4，2）是边界上的极小值点，极小值为－64.比较得最大值为4，最小值

7、为－64.三、应用题134.从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周界的直角三角形.解：设直角三角形的两直角边之长分别为，则周长为则本题是在下的条件极值，令函数得驻点，由于驻点唯一，根据问题性质可知这种最大周界的直角三角形一定存在，所以斜边之长为的一切直角三角形中，周界最大的是等腰直角三角形.135.在半径为的半球内，内接一长方体，问各边长多少时，其体积最大？（中等难度）解设长方体的长、宽、高分别为（单位）则其体积因为长方体内接于半球内，易知满足约束方程=0作拉格朗日函数]解方程组得驻点，由于驻点唯一，根据问题的实际所求的最大值点

8、就是（），最大体积值为（立方单位）.136.要造一个容积等于定数的长方形无盖水池，应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小.（中等难度）解：长、宽、高分别为，那么.18要使表面积最小.，也就是要三元函数在约束条件下取得最小值.作拉格朗日函